SOČASNI VEKTORJI: ZNAČILNOSTI, PRIMERI IN VAJE - MATEMATIKA - 2026

V sočasnih vektorji so vektorji skupine, katerih osi sovpadata v eni točki, ki tvori med vsakim parom notranjih in zunanjih drugega zornega kota. Na sliki spodaj je jasen primer, kjer so A, B in C vektorji sočasno.

D in E za razliko od ostalih nista. Med sočasnimi vektorji AB, AC in CB nastajajo koti. Imenujemo jih relativni koti med vektorji.

značilnosti

-Imajo skupno točko, ki sovpada z njihovim nastankom: vse veličine sočasnih vektorjev se začnejo od skupne točke do njihovih koncev.

-Izhodišče se šteje kot točka delovanja vektorja: vzpostaviti je treba točko delovanja, ki bo neposredno vplivala na vsakega od sočasnih vektorjev.

-Its domene v ravnini in prostoru je R ² in R ³ v tem zaporedju: vzporednem vektorji so prosto pokriva celotno geometrijsko prostor.

-Omogoča različne zapise v isti skupini vektorjev. Glede na veje študija so v operacijah z vektorji prisotni različni zapisi.

Vrste vektorjev

Veja vektorjev ima več pododdelkov, med njimi jih lahko imenujemo: vzporedne, pravokotne, koplanarne, ustrezne, nasprotne in enotne. Tu so navedeni sočasni vektorji in tako kot vsi zgoraj imenovani imajo tudi v različnih znanostih veliko aplikacij.

Zelo pogoste so pri preučevanju vektorjev, saj predstavljajo koristno posplošitev pri operacijah z njimi. Tako v ravnini kot v vesolju se sočasno vektorji običajno uporabljajo za predstavljanje različnih elementov in proučevanje njihovega vpliva na določen sistem.

Vektorski zapis

Obstaja več načinov za predstavitev vektorskega elementa. Glavni in najbolj znani so:

Kartezijanski

Predlagan z istim matematičnim pristopom označuje vektorje s trojico, ki ustreza velikosti vsake osi (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Vesolje A: (1, 1) Ravnina

Polarno

Služijo samo za označevanje vektorjev v ravnini, čeprav je v integralnem računu dodeljena komponenta globine. Sestavljen je z linearno magnitudo r in kotom glede na polarno os Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Ravnina A: (2, 45 ⁰ , 3) Vesolje

Analitični

Z versoresi določajo vrednosti vektorja. Vzorci (i + j + k) predstavljajo enotne vektorje, ki ustrezajo osi X, Y in

A: 3i + 2j - 3k

Sferično

Podobni so polarnim zapisom, vendar z dodatkom drugega kota, ki se vije nad ravnino xy, ki ga simbolizira δ.

A: (4, 60 ^ali , π / 4)

Sočasne vektorske operacije

Sočasni vektorji se večinoma uporabljajo za definiranje operacij med vektorji, saj je lažje primerjati elemente vektorjev, kadar so hkrati predstavljeni.

Vsota (A + B)

Cilj vsote sočasnih vektorjev je najti rezultirajoči vektor V _r . Kar po veji študija ustreza končnemu dejanju

Na primer: 3 niza {A, B, C} so vezani v polje, vsak konec niza pa drži ena tema. Vsak od treh subjektov mora vrv vleči v drugo smer kot druga 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Škatla se bo lahko premikala le v eni smeri, zato bo V _r označil smer in smer gibanja škatle.

Razlika (A - B)

Kriterij glede razlike med vektorji je veliko, mnogi avtorji se odločijo, da ga izključijo in navajajo, da je določena le vsota med vektorji, kjer je razlika približno vsota nasprotnega vektorja. Resnica je, da je vektorje mogoče algebrsko odšteti.

A: (sekira, aj, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Skalarni izdelek (A. B)

Znan tudi kot pični izdelek, ustvarja skalarno vrednost, ki je lahko odvisna od različnih velikosti, odvisno od veje študija.

Za geometrijo navedite območje paralelograma, ki ga tvori par sočasnih vektorjev z metodo paralelograma. Za mehansko fiziko določa delo, ki ga opravi sila F, ko telo premika razdaljo Δr.

ѡ = F . Δr

Kot že ime pove, ustvari skalarno vrednost in je definirana na naslednji način:

Naj bosta vektorja A in B

A: (sekira, aj, az) B: (bx, by, bz)

-Analitična oblika:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Kjer je θ notranji kot med vektorjema

-Algebrajska oblika:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Prečni izdelek (A x B)

Vektor izdelek ali skalarni produkt med dvema vektorjema, določa tretji vektor C ima kakovost pravokotna B in C . V fiziki je vektor navora τ osnovni element rotacijske dinamike.

-Analitična oblika:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebrajska oblika:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Razmerno gibanje: r _{A / B}

Osnova relativnosti je relativno gibanje, sočasni vektorji pa so osnova relativnega gibanja. Relativne položaje, hitrosti in pospeške je mogoče ugotoviti z uporabo naslednjega vrstnega reda idej.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Relativni položaj A glede na B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Relativna hitrost A glede na B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Relativni pospešek A glede na B

Primeri: rešene vaje

Vaja 1

Naj bodo A, B in C sočasni vektorji.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Odredite nastali vektor V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Odločite izdelek s pikami (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Računajte kot med A in C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Kjer je θ najkrajši kot med vektorji

θ = 88,63 ⁰

-Poiščite vektor, pravokoten na A in B

Za to je treba določiti vektorski produkt med (-1, 3, 5) in (3, 5, -2). Kot smo že pojasnili, je matrica 3 x 3 zgrajena, kjer je prva vrstica sestavljena iz vektorjev trojnih enot (i, j, k). Nato sta 2. in 3. vrstica sestavljena iz vektorjev za delovanje, ob upoštevanju operativnega reda.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Vaja 2

Naj bosta V _a in V _b vektorja hitrosti A in B. Izračunajte hitrost B, vidno iz A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

V tem primeru se zahteva relativna hitrost B glede na A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

To je vektor hitrosti B, prikazan iz A. Kjer je opisan nov vektor hitrosti B, ki se sklicuje na opazovalca, ki je nameščen v A in se giblje s hitrostjo A.

Predlagane vaje

1-Skonstruirajte 3 vektorje A, B in C, ki so hkrati, in povežite 3 operacije med njimi s praktično vajo.

2-Naj vektorji A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) in C: (-2, -1, 10). Poiščite vektorje, pravokotne na: A in B, C in B, Vsota A + B + C.

4-Določite 3 vektorje, ki so pravokotni drug na drugega, ne da bi pri tem upoštevali koordinatne osi.

5 - Določite delo s silo, ki dvigne blok mase 5 kg, z dna vodnjaka 20m globoko.

6 - algebrično pokažite, da je odštevanje vektorjev enako vsoti nasprotnega vektorja. Upravičite svoje postulate.

7-Označite vektor v vseh zapisih, razvitih v tem članku. (Kartezijanska, polarna, analitična in sferična).

8 - Magnetne sile, ki delujejo na magnet, ki počiva na mizi, dajejo naslednji vektorji; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Določite, v katero smer se bo magnet premikal, če bodo vse magnetne sile delovale istočasno.

Reference

1. Evklidska geometrija in transformacije. Clayton W. Dodge. Kurirska korporacija, 1. januarja 2004
2. Kako rešiti uporabne matematične težave L. Moiseiwitsch. Kurirska korporacija, 10. apr 2013
3. Osnovni pojmi geometrije. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4. okt. 2012
4. Vektorji. Rocío Navarro Lacoba, 7. junij. 2014
5. Linearna algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006