Aditiv razkroj pozitivnega celega števila je dal kot vsota dveh ali več naravnih števil. Tako imamo, da je število 5 mogoče izraziti kot 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 ali 5 = 1 + 2 + 2. Vsak od teh načinov pisanja številke 5 bomo imenovali aditivna razgradnja.

Če smo pozorni, lahko vidimo, da izraza 5 = 2 + 3 in 5 = 3 + 2 predstavljata isto sestavo; oba imata enake številke. Vendar pa je za udobje vsak dodatek napisan po kriteriju od najnižje do najvišje.

Aditivna razgradnja

Kot drug primer lahko vzamemo številko 27, ki jo lahko izrazimo kot:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Aditivna razgradnja je zelo uporabno orodje, ki nam omogoča, da okrepimo svoje znanje o sistemih oštevilčenja.

Kanonično aditivno razkroj

Ko imamo številke z več kot dve števki, je poseben način, kako jih razstaviti, v množicah 10, 100, 1000, 10 000 itd., Ki jih sestavljajo. Ta način pisanja poljubne številke imenujemo kanonična aditivna razgradnja. Številko 1456 lahko na primer razstavimo na naslednji način:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Če imamo številko 20 846 295, bo njen kanonični aditivni razkroj:

20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Zahvaljujoč tej razgradnji lahko vidimo, da je vrednost dane številke podana s položajem, ki ga zaseda. Vzemimo za primera številki 24 in 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Tu lahko vidimo, da ima v 24 2 vrednost 20 enot, 4 pa vrednost 4 enote; po drugi strani pa ima vrednost 42 v vrednosti 40 enot in dve od dveh enot. Čeprav obe številki uporabljata isti števki, sta njuni vrednosti zaradi položaja, ki ga zasedata, popolnoma različni.

Prijave

Ena od aplikacij, ki jo lahko damo aditivnemu razkroju, je v določenih vrstah dokazov, pri katerih je zelo koristno videti pozitivno celo število kot vsoto drugih.

Primer izrek

Vzemimo za primer naslednji izrek z ustreznimi dokazi.

- Naj bo Z 4-mestno celo število, potem je Z deljivo s 5, če je njegova enaka številka enotam enaka nič ali pet.

Demonstracija

Spomnimo se, kaj je ločitev. Če imamo celo število "a" in "b", rečemo, da "a" deli "b", če obstaja celo število "c", tako da je b = a * c.

Ena od lastnosti delitve nam pove, da če sta "a" in "b" deljiva s "c", potem je tudi odštevanje "ab" deljivo.

Naj bo Z 4-mestno celo število; zato lahko Z zapišemo kot Z = ABCD.

Z uporabo kanonične aditivne razgradnje imamo:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Jasno je, da je A * 1000 + B * 100 + C * 10 deljiv s 5. Za to imamo, da je Z deljiv s 5, če je Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) deljiv s 5.

Toda Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D in D je enomestno število, zato je edini način, da ga delimo s 5, če je 0 ali 5.

Zato je Z deljiv s 5, če je D = 0 ali D = 5.

Upoštevajte, da če ima Z n številk, je dokaz popolnoma enak, le spremeni, da bi zdaj napisali Z = A ₁ A ₂ … A _n in cilj bi bil dokazati, da je A _n nič ali pet.

Predelne stene

Pravimo, da je delitev na pozitivno celo število en način, da lahko zapišemo število kot vsoto pozitivnih celih števil.

Razlika med aditivnim razkrojem in particijo je v tem, da čeprav prvi išče, da ga je mogoče vsaj razgraditi na dva dodatka ali več, particija nima te omejitve.

Tako imamo naslednje:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Zgoraj so particije 5.

Se pravi, da je vsaka aditivna razgradnja particija, ni pa vsaka particija nujno aditivna razgradnja.

Teorija števil v osnovni teoriji aritmetike zagotavlja, da je lahko vsako celo število enolično zapisano kot produkt praštevil.

Pri preučevanju particij je cilj določiti, na koliko načinov lahko zapišemo pozitivno celo število kot vsoto drugih celih števil. Zato definiramo funkcijo particije, kot je predstavljena spodaj.

Opredelitev

Delitvena funkcija p (n) je definirana kot število načinov, na katere je mogoče pozitivno celo število n zapisati kot vsoto pozitivnih celih števil.

Če se vrnemo na primer 5, imamo naslednje:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Tako je p (5) = 7.

Grafika

Tako particije kot aditivne razgradnje števila n lahko predstavljamo geometrijsko. Recimo, da imamo aditivno razkroj n. Pri tej razdelitvi je mogoče priloge razporediti tako, da so člani vsote razporejeni od najmanj do največjih. Torej, v redu:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r z

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r .

To razgradnjo lahko graficiramo na naslednji način: v prvi vrstici označimo _1- točke, nato v naslednji označimo _2- točki in tako naprej, dokler ne dosežemo _r .

Vzemimo za primer številko 23 in njeno naslednjo razgradnjo:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Naročimo to razgradnjo in imamo:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Njegov ustrezen graf bi bil: