AKSIALNA SIMETRIJA: LASTNOSTI, PRIMERI IN VAJE - MATEMATIKA - 2026

Osna simetrija je, ko se točke na sliki sovpadajo s točkami drugi sliki z ravnim simetrali imenovano simetrijsko os. Imenujemo jo tudi radialna, rotacijska ali valjasta simetrija.

Običajno se uporablja v geometrijskih figurah, v naravi pa je zlahka opazljiva, saj obstajajo živali, kot so metulji, škorpijoni, ladybugs ali ljudje, ki predstavljajo osno simetrijo.

Aksialna simetrija je razstavljena na tej fotografiji obrisa mesta Toronto in njenega odseva v vodi. (Vir: pixabay)

Kako najti osno simetrično

Za iskanje osne simetrije P 'točke P glede na črto (L) se izvedejo naslednje geometrijske operacije:

1.- Pravokotnik na premico (L), ki poteka skozi točko P.

2.– Prestrezanje obeh črt določa točko O.

3.- Izmeri se dolžina odseka PO, nato se ta dolžina kopira na črto (PO), ki se začne od O v smeri od P do O, s čimer določimo točko P '.

4.- Točka P 'je osna simetrična točka P glede na os (L), saj je premica (L) bisektorska točka segmenta PP', ki je O središče točke odseka.

Slika 1. Dve točki P in P 'sta aksialno simetrični na os (L), če je omenjena os bisektorija odseka PP'

Lastnosti osne simetrije

- Aksialna simetrija je izometrična, to pomeni, da so ohranjene razdalje geometrijske figure in njene ustrezne simetrije.

- Mera kota in njegova simetrična sta enaki.

- Osna simetrija točke na osi simetrije je sama točka.

- Simetrična črta črte, vzporedne z osjo simetrije, je tudi črta, vzporedna z omenjeno osjo.

- Sekantna črta do osi simetrije ima kot simetrična črta še eno sekantno črto, ki seka os simetrije v isti točki na prvotni črti.

- Simetrična slika črte je druga črta, ki tvori kot z osjo simetrije iste mere kot tista v izvirni črti.

- Simetrična slika črte, pravokotne na os simetrije, je druga črta, ki prekriva prvo.

- Črta in njena osna simetrična črta tvorita kot, katerega bisektor je os simetrije.

Slika 2. Aksialna simetrija ohranja razdalje in kote.

Primeri osne simetrije

Narava ima veliko primerov osne simetrije. Med drugim lahko na primer vidite simetrijo obrazov, žuželk, kot so metulji, odsev na mirnih vodnih površinah in ogledalih ali listih rastlin.

Slika 3. Ta metulj ima skoraj popolno osno simetrijo. (Vir: pixabay)

Slika 4. Obraz te deklice ima osno simetrijo. (Vir: pixabay)

Vaje osne simetrije

Vaja 1

Imamo trikotnik tock A, B in C, katerih kartezijanske koordinate so A = (2, 5), B = (1, 1) in C = (3,3). Poiščite kartezijanske koordinate trikotnika, simetričnih glede na os Y (ordinatna os).

Rešitev: Če ima točka P koordinate (x, y), je njena simetrična glede na ordinatno os (os Y) P '= (- x, y). Z drugimi besedami, vrednost njegovega abscesa se spreminja v znamenju, vrednost ordinata pa ostaja enaka.

V tem primeru bo simetrični trikotnik z točki A ', B' in C 'imel koordinate:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) in C' = (- 3, 3), kot je razvidno na sliki 6.

Slika 6. Če ima točka koordinate (x, y), bo njena simetrična glede na os Y (ordinatna os) imela koordinate (-x, y).

Vaja 2

Glede na trikotnik ABC in njegov simetrični A'B'C 'iz vaje 1 preverite, ali sta ustrezni strani prvotnega trikotnika in njegove simetrične enake dolžine.

Rešitev: Za iskanje razdalje ali dolžine stranic uporabimo evklidsko formulo razdalje:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Dolžina ustrezne simetrične strani A'B 'se izračuna spodaj:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Na ta način se preveri, da osna simetrija ohranja razdaljo med dvema točkama. Postopek lahko ponovite za drugi dve strani trikotnika in njegovo simetričnost, da preverite invariance v dolžini. Na primer -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Vaja 3

V zvezi s trikotnikom ABC in njegovim simetričnim A'B'C 'iz vaje 1 preverite, ali imata ustrezna kota prvotnega trikotnika in njegovo simetrično enako kotno mero.

Rešitev: Za določitev mer kotov BAC in B'A'C 'bomo najprej izračunali skalarni produkt vektorjev AB z AC in nato skalarni produkt A'B' z A'C ' .

Ne pozabite, da:

A = (2, 5), B = (1, 1) in C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) in C' = (- 3, 3).

Ima:

AB = <1-2, 1-5> in AC = <3-2, 3-5>

podobno

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> in AC = <-3 + 2, 3-5>

Potem najdemo naslednje skalarne izdelke:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

podobno

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Mera kota BAC je:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123-2236)) = 40,6 °

Podobno je merilo kota B'A'C ':

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123-2236)) = 40,6 °

Ugotovimo, da aksialna simetrija ohranja mero kotov.

Vaja 4

Točka P naj bo koordinat (a, b). Poiščite koordinate njene osne simetrije P 'glede na premico y = x.

Rešitev: Poimenovali bomo (a ', b') koordinate simetrične točke P 'glede na premico y = x. Srednja točka M odseka PP 'ima koordinate ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) in je tudi na premici y = x, zato velja naslednja enakost:

a + a '= b + b'

Po drugi strani ima segment PP 'naklon -1, ker je pravokoten na premico y = x z naklonom 1, zato velja naslednja enakost:

b - b '= a' -a

Za dve prejšnji enakosti a 'in b' ugotovimo, da:

a '= s tem b' = a.

To pomeni, da je glede na točko P (a, b) njegova osna simetrija glede na premico y = x P '(b, a).

Reference

1. Arce M., Blázquez S in drugi. Transformacije ravnine. Pridobljeno iz: educutmxli.files.wordpress.com
2. Izračun ccm. Aksialna simetrija. Pridobljeno: računa.cc
3. Superprof. Aksialna simetrija. Pridobljeno: superprof.es
4. wikipedia. Aksialna simetrija. Pridobljeno: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Krožna simetrija. Pridobljeno: en.wikipedia.com