TRINOMIJA OBLIKE X ^ 2 + BX + C (S PRIMERI) - MATEMATIKA - 2026

Preden se naučimo reševati trinoma oblike x ^ 2 + bx + c in še preden poznamo pojem trinomala, je pomembno poznati dva bistvena pojma; in sicer pojmov monom in polinom. Monomial je izraz tipa a * x ⁿ , kjer je a racionalno število, n je naravno število in x je spremenljivka.

Polinom je linearna kombinacija monomi oblike a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , kjer je vsak a _i , z i = 0,…, n je racionalno število, n je naravno število in a_n je nič. V tem primeru je stopnja polinoma enaka n.

Polinom, tvorjen s seštevkom samo dveh pojmov (dveh monomi) različnih stopenj, je znan kot binom.

Trinomials

Polinom, tvorjen s seštevkom samo treh pojmov (treh monomi) različnih stopenj, je znan kot trinom. Sledijo primeri trinomial:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Obstaja več vrst trinomial. Od tega izstopa popoln kvadratni trinom.

Popoln kvadratni trinom

Popoln kvadratni trinom je rezultat odštevanja binoma. Na primer:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Značilnosti trinomilov stopnje 2

Popoln kvadrat

Na splošno je trinoms oblike ax ² + bx + c popoln kvadrat, če je njegov diskriminant enak nič; to je, če je b ² -4ac = 0, saj bo imel v tem primeru en sam koren in se lahko izrazi v obliki a (xd) ² = (√a (xd)) ² , kjer je d že omenjeni koren.

Korenina polinoma je število, pri katerem polinom postane nič; z drugimi besedami, število, ki ob nadomestitvi za x v polinomskem izrazu povzroči nič.

Rešitvena formula

Splošna formula za izračun korenin polinoma druge stopnje oblike ax ² + bx + c je formula, ki pravi, da so te korenine podane z (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, kjer b ² je -4ac znan kot diskriminantna in je običajno označena s Í. Iz te formule izhaja, da ima ax ² + bx + c:

- Dve različni resnični koreni, če je ∆> 0.

- en sam pravi koren, če je ∆ = 0.

- Nima pravega korena, če je ∆ <0.

V nadaljevanju bodo obravnavani samo trinomi oblike x ² + bx + c, kjer mora biti jasno c število, ki ni nič (sicer bi bilo to binom). Te vrste trinomilov imajo določene prednosti pri faktoringu in delovanju z njimi.

Geometrijska interpretacija

Geometrijsko je trinomial x ² + bx + c parabola, ki odpira navzgor in ima temenom točki (lb / 2-b ² /4 + c) kartezijanskega ravnine da x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Ta parabola reže os Y v točki (0, c) in os X v točkah (d ₁ , 0) in (d ₂ , 0); potem sta d ₁ in d ₂ korenine trinoma. Lahko se zgodi, da ima trinomal en sam koren d, v tem primeru bi bil edini rez z osjo X (d, 0).

Lahko se tudi zgodi, da trinomal nima prave korenine, v tem primeru pa ne bi v nobeni točki presekal osi X.

Na primer, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² je parabola z vrhom pri (-3,0), ki preseka os Y pri (0, 9) in na os X pri (-3,0).

Trinomalni faktoring

Zelo uporabno orodje pri delu z polinomi je faktoring, ki je sestavljen iz izražanja polinoma kot produkta dejavnikov. Na splošno je dano trinomsko obliko oblike x ² + bx + c, če ima dve različni korenini d ₁ in d ₂ , jo lahko upoštevamo kot (xd ₁ ) (xd ₂ ).

Če ima en sam koren d, ga lahko upoštevamo kot (xd) (xd) = (xd) ² , če pa nima pravega korena, ostane isti; v tem primeru ne priznava faktorizacije kot produkta drugih dejavnikov.

To pomeni, da se z poznavanjem korenin trinoma v že uveljavljeni obliki lahko njegova faktorizacija zlahka izrazi, in kot smo že omenili, lahko te korenine vedno določimo s pomočjo ločljivosti.

Vendar pa obstaja velika količina te vrste trinomilov, ki jih je mogoče upoštevati, ne da bi prej poznali njihove korenine, kar delo poenostavi.

Korenine lahko določimo neposredno iz faktorizacije, ne da bi uporabili formulo ločljivosti; to so polinomi oblike x ² + (a + b) x + ab. V tem primeru imamo:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + os + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Iz tega je razvidno, da so korenine –a in –b.

Z drugimi besedami, če imamo trinomsko x ² + bx + c, če sta dve števili u in v taki, da sta c = uv in b = u + v, potem je x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

To pomeni, da ob trinomu x ² + bx + c najprej preverimo, če obstajata dve številki, ki se pomnožita, data neodvisen izraz (c) in sešteta (ali odšteta, odvisno od primera), data izraz, ki spremlja x ( b).

Ne pri vseh trinomilih na ta način je mogoče uporabiti to metodo; v katerih to ni mogoče, se uporablja ločljivost in velja zgoraj navedeno.

Primeri

Primer 1

Če želite izračunati naslednji trinomial x ² + 3x + 2, nadaljujte na naslednji način:

Morate najti dve številki, tako da je pri njihovem seštevanju rezultat 3, pri množenju pa rezultat 2.

Po opravljenem pregledu je mogoče ugotoviti, da sta iskani številki: 2 in 1. Zato je x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Primer 2

Za izračun trinomala x ² -5x + 6 poiščemo dve številki, katerih vsota je -5, njuni produkt pa 6. Številki, ki izpolnjujeta ta dva pogoja, sta -3 in -2. Torej je faktorizacija danega trinomiala x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Reference

1. Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MAT. Uvod v izračun. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne enačbe: kako rešiti kvadratno enačbo. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, Paul, RS (2003). Matematika za management in ekonomijo. Pearsonova vzgoja.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
5. Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Uredništvo Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Easy! Tako enostavno. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra in trigonometrija. Pearsonova vzgoja.