AKUTNI TRIKOTNIK: ZNAČILNOSTI IN VRSTE - MATEMATIKA - 2026

V akutni trikotniki so tisti, katerih trije notranji koti so topi koti; to pomeni, da je mera vsakega od teh kotov manjša od 90 ° stopinj. Če nimamo nobenega pravega kota, imamo, da pitagorovski izrek ne drži za to geometrijsko figuro.

Če želimo imeti kakšno informacijo o kateri koli od njegovih strani ali kotov, moramo uporabiti druge teoreme, ki nam omogočajo dostop do omenjenih podatkov. Uporabljamo lahko sinusni teorem in kosinusni izrek.

značilnosti

Med značilnostmi, ki jih ima ta geometrijska figura, lahko izpostavimo tiste, ki jih daje preprosto dejstvo, da je trikotnik. Med temi imamo:

- Trikotnik je mnogokotnik, ki ima tri strani in tri kote.

- Vsota treh notranjih kotov je 180 °.

- Vsota dveh strani je vedno večja od tretje.

Kot primer si oglejmo naslednji trikotnik ABC. Na splošno določimo njegove stranice z malo črko, njegove kote pa z veliko začetnico, tako da ima ena stran in njen nasprotni kot isto črko.

Iz že danih lastnosti vemo, da:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b in b + c> a

Glavna značilnost, ki razlikuje to vrsto trikotnika od ostalih, je, da so, kot smo že omenili, njegovi notranji koti akutni; to pomeni, da je mera vsakega od njegovih kotov manjša od 90 °.

Akutni trikotniki, skupaj s tupastimi trikotniki (tisti, pri katerih ima eden od njihovih kotov meri več kot 90 °), so del množice poševnih trikotnikov. Ta sklop je sestavljen iz trikotnikov, ki niso pravih kotov.

Ker so poševni trikotniki del, moramo biti sposobni reševati težave, ki vključujejo akutne trikotnike, moramo uporabiti sinus in izrek kosinusa.

Sinusni izrek

Teorem o sinusu nam pove, da je razmerje ene strani in sinus njegovega nasprotnega kota enako dvakratnemu polmeru kroga, ki ga tvorijo tri točke omenjenega trikotnika. Se pravi:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kozinski izrek

Po drugi strani nam kosinusni teorem daje te tri enakosti za kateri koli trikotnik ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Ti teoremi so znani tudi kot zakon sinusa in zakon kosinusa.

Druga značilnost akutnih trikotnikov je, da sta dva enaka, če izpolnjujeta katero od naslednjih meril:

- Če imajo iste tri strani.

- Če imajo eno stran in dva enaka kota drug do drugega.

- Če imajo dve enaki strani in kot.

Vrste

Akutne trikotnike lahko razvrstimo glede na njihove strani. To so lahko:

Enakostranski akutni trikotniki

Gre za akutne trikotnike, ki imajo vse strani enake in zato imajo vsi njihovi notranji koti enako vrednost, to je A = B = C = 60 ° stopinj.

Kot primer vzemimo naslednji trikotnik, katerega stranice a, b in c imajo vrednost 4.

Izoscele akutni trikotniki

Ti trikotniki imajo poleg akutnih notranjih kotov značilnost, da imajo dve enaki strani in tretjo, ki se običajno vzame za osnovo.

Primer te vrste trikotnikov je lahko tista, katere osnova je 3, drugi dve strani pa imata vrednost 5. S temi meritvami bi imeli nasprotne kote na enake strani z vrednostjo 72,55 ° in nasprotnim kotom osnova bi bila 34,9 °.

Scalene akutni trikotniki

To so trikotniki, ki imajo vsi različne strani dva po dva. Zato se vsi njegovi koti, poleg tega, da so manjši od 90 °, razlikujejo od dveh do dveh.

Trikotnik DEF (katerega mere so d = 4, e = 5 in f = 6 in njegovi koti D = 41,41 °, E = 55,79 ° in F = 82,8 °) je dober primer akutnega trikotnika skaline.

Ločljivost akutnih trikotnikov

Kot smo že rekli, je za reševanje problemov, ki vključujejo akutne trikotnike, treba uporabiti teoreme sinusa in kosinusa.

Primer 1

Glede na trikotnik ABC s koti A = 30 °, B = 70 ° in stranjo a = 5cm, želimo vedeti vrednost kota C in stranic b in c.

Prva stvar je uporaba dejstva, da je vsota notranjih kotov trikotnika 180 °, da dobimo vrednost kota C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Počistimo C in imamo:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Ker tri kote in eno stran že poznamo, lahko s teoremom sinusa določimo vrednost preostalih strani. Po izreku imamo:

a / sin (A) = b / sin (B) in a / sin (A) = c / (greh (C)

Iz enačbe izoliramo b in ostane nam:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Zdaj moramo le izračunati vrednost c. Nadaljujemo na enak način kot v prejšnjem primeru:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Tako dobimo vse podatke trikotnika. Kot vidimo, ta trikotnik spada v kategorijo lestvice akutnega trikotnika.

Primer 2

Glede na trikotnik DEF s stranicami d = 4cm, e = 5cm in f = 6cm, želimo vedeti vrednost kotov omenjenega trikotnika.

V tem primeru bomo uporabili zakon kosinusa, ki nam pravi, da:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Iz te enačbe lahko rešimo za cos (D), kar nam daje rezultat:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Torej imamo D≈ 41,41 °

Z uporabo teorema o senom imamo naslednjo enačbo:

d / (greh (D) = e / (greh (E)

Rešimo za greh (E):

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Tako imamo E≈55,79 °

Končno, če uporabimo, da je vsota notranjih kotov trikotnika 180 °, imamo F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija (Ponatis izd.). Napredek.
2. Leake, D. (2006). Trikotniki (ilustrirano ur.). Heinemann-Raintree
3. Leal G. Juan Manuel (2003). Ravna metrična geometrija. CODEPRE
4. Ruiz, Á., In Barrantes, H. (2006). Geometrije. CR tehnologija.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometrija in analitična geometrija. Pearsonova vzgoja.