TRAPEZNI IZOSCELES: LASTNOSTI, RAZMERJA IN FORMULE, PRIMERI - MATEMATIKA - 2026

Enakokraki trapez je A štirikotnik, v kateri sta dve izmed stranic medsebojno vzporedni in poleg tega sta koti sosednji ima ena od teh vzporednih stranic enako mero.

Na sliki 1 imamo štirikotnik ABCD, v katerem sta strani AD in BC vzporedni. Poleg tega imata kota ∠DAB in ∠ADC poleg vzporedne strani AD isto mero α.

Slika 1. Isosceles trapezij. Vir: F. Zapata.

Torej je ta štirikotnik ali štiristranski mnogokotnik v resnici izosceles trapez.

V trapezu se vzporedne strani imenujejo osnove, nesporedne strani pa imenujejo stranske. Druga pomembna lastnost je višina, to je razdalja, ki ločuje vzporedne stranice.

Poleg izoscele trapez obstajajo še druge vrste trapeza:

-T rapezoidna skala, ki ima vse svoje kote in različne strani.

- Pravokotni rapezoid, pri katerem ima ena stran prave sosednje kote.

Trapezna oblika je pogosta na različnih področjih oblikovanja, arhitekture, elektronike, računanja in mnogih drugih, kot bomo videli kasneje. Od tod tudi pomen seznanjanja z njegovimi lastnostmi.

Lastnosti

Izključno za izoscele trapez

Če je trapez izosceles, potem ima naslednje značilne lastnosti:

1.- Strani imata enako meritev.

2.- Koti, ki mejijo na podlage, so enaki.

3.- Nasprotni koti so dopolnilni.

4.– Diagonale imajo enako dolžino, pri čemer sta dva segmenta, ki se združita v nasprotni točki, enaka.

5.- Kot, ki nastane med podstavki in diagonalami, sta enaka mera.

6.- Ima zaobljen obod.

Če pa trapezoid izpolnjuje katero koli od zgornjih lastnosti, je to enakomerni trapez.

Če je enak kot v trapezu izosceles enak (90 °), bodo tudi vsi drugi koti pravilno, ki tvorijo pravokotnik. Se pravi, da je pravokotnik poseben primer trapeza izosceles.

Slika 2. Posoda za kokice in šolske mize so oblikovane kot enakomerni trapez. Vir: Pxfuel (levo) / McDowell Craig via Flickr. (prav)

Za vse trapeze

Naslednji niz lastnosti velja za kateri koli trapez:

7.- Mediana trapeza, to je segmenta, ki se povezuje s srednjicami njegovih vzporednih strani, je vzporedna s katero koli osnovo.

8.- Dolžina mediane je enaka polizumu (vsoti, deljenem z 2) dolžine njegovih osnov.

9.- Mediana trapeza razreže diagonale v sredini.

10.- Diagonale trapeza sekajo na točki, ki jih razdeli na dva odseka, sorazmerna količnikom baz.

11.- Vsota kvadratov diagonale trapeza je enaka vsoti kvadratov njegovih stranic in dvojnemu izdelku njihovih osnov.

12.- Segment, ki se združi s srednjicami diagonale, ima dolžino, enako polovici razlike osnov.

13.- Kotniki ob straneh so dopolnilni.

14.- Trapez ima vpisan obod, če in samo, če je vsota njegovih podlag enaka vsoti njegovih strani.

15.- Če ima trapez vpisan obod, so koti z vrhom v sredini omenjenega oboda in stranice, ki gredo skozi konce iste strani, pravi koti.

Razmerja in formule

Naslednji sklop razmerij in formul je naveden na sliki 3, kjer so poleg izosceles trapeza prikazani tudi drugi že omenjeni pomembni segmenti, kot so diagonale, višina in mediana.

Slika 3. Mediana, diagonale, višina in zaobljeni obod v enakomernem trapezu. Vir: F. Zapata.

Edinstvena razmerja isosceles trapezija

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA in ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º in ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C in D spadajo v opisan krog.

Odnosi za katero koli trapezo

1. Če AK = KB in DL = LC ⇒ KL - AD in KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 in DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC in DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º in ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Če je AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R kot enako oddaljen od AD, BC, AB in DC

15.- Če je R enakomerno oddaljen od AD, BC, AB in DC, potem:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Odnosi za izosceles trapezij z vpisanim obodom

Če je v enakovrednem trapezu vsota baz enaka dvakratni stranski, potem vpisani obod obstaja.

Slika 4. Trapez z vpisanim obodom. Vir: F. Zapata.

Naslednje lastnosti veljajo, če ima enakomerni trapez vpisan obseg (glej sliko 4 zgoraj):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Diagonale sekajo pod pravimi koti: AC ⊥ BD

18.- Višina meri enako kot srednja: HF = KL, torej h = m.

19.- Kvadrat višine je enak zmnožku osnov: h ² = BC⋅AD

20.- V teh posebnih pogojih je površina trapeza enaka kvadraturi višine ali produkta podstavkov: Površina = h ² = BC⋅AD.

Formule za določanje ene strani, poznavanje drugih in kota

Če poznamo podlago, stransko in kot, lahko drugo osnovo določimo z:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Če sta dolžina osnov in kot podana kot znani podatek, sta dolžini obeh strani:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Določitev ene strani, poznavanje drugih in diagonala

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Kjer je d ₁ dolžina diagonale.

Podlaga za višino, površino in drugo podlago

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Znane stranske podlage, površina in kot

c = (2A) /

Znana bočna sredina, območje in kot

c = A / (m sin α)

Znana višina strani

h = √

Znana višina kota in dve strani

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Znane diagonale na vseh straneh, ali dve strani in kot

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Obod enakomernega trikotnika

P = a + b + 2c

Področje izosceles trapezij

Obstaja več formul za izračun površine, odvisno od podatkov, ki so znani. Naslednje je najbolj znano, odvisno od podlage in višine:

A = h⋅ (a + b) / 2

In lahko uporabite tudi te druge:

Če so znane strani

A = √

-Kdaj imate dve strani in kot

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Če sta znana polmer vpisanega kroga in kot

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Kdaj se poznata podlage in kot

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Če je na trapez lahko vpisan obod

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Znaj diagonale in kot, ki ga tvorita drug z drugim

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) Í Sen

-Ko imate stranski, srednji in kot

A = mc.sen α = mc.sen β

Polmer opisanega kroga

Samo trapezoidi izoceles imajo omejen obseg. Če _{sta znana} večja osnova a, stranska c in diagonala d ₁ , potem je polmer R kroga, ki gre skozi štiri vrhove trapeza, enak:

R = a⋅c⋅d ₁ /4√

Kjer je p = (a + c + d ₁ ) / 2

Primeri uporabe izosceles trapeza

Trapezoid izostali se pojavlja na področju oblikovanja, kot je prikazano na sliki 2. In tukaj je nekaj dodatnih primerov:

V arhitekturi in gradbeništvu

Stari Inki so poznali izoscele trapez in ga uporabljali kot gradbeni element v tem oknu v mestu Cuzco v Peruju:

Slika 5 Trapezoidno okno Coricancha v Cuzcu. Vir: Wikimedia Commons.

In tu se trapez spet pojavi v tako imenovanem trapeznem listu, materialu, ki se pogosto uporablja v gradbeništvu:

Slika 6. Trapezna kovinska pločevina začasno ščiti okna stavbe. Vir: Wikimedia Commons.

V oblikovanju

Videli smo že, da se trapezoid izosceles pojavlja v vsakodnevnih predmetih, vključno z živili, kot je ta čokoladna palica:

Slika 7. Čokoladna palica, katere obrazi so oblikovani kot enakomerni trapez. Vir: Pxfuel.

Rešene vaje

- Vaja 1

Izoscelesni trapez ima osnovo večjo od 9 cm, osnovo manj kot 3 cm, njegove diagonale pa 8 cm. Izračunaj:

a) Stranski

b) Višina

c) Obod

d) Območje

Slika 8. Shema vaje 1. Vir: F. Zapata

Rešitev za

Vrisana je višina CP = h, kjer podnožje višine določa odseke:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Uporaba pitagorejevega izrekanja na desni trikotnik DPC:

c ² = H ² + (a - b) ² /4

In tudi na desni trikotnik APC:

d ² = H ² + AP ² = H ² + (a + b) ² /4

Na koncu se odšteje član za članom, druga enačba od prve in poenostavljeno:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Rešitev b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - C6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Rešitev c

Obod = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Rešitev d

Površina = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Vaja 2

Obstaja izosceles trapez, katerega večja osnova je dvakrat manjša, njegova manjša osnova pa je enaka višini, ki znaša 6 cm. Odloči:

a) Dolžina bočnega dela

b) Obod

c) Območje

d) koti

Slika 8. Shema vaje 2. Vir: F. Zapata

Rešitev za

Podatki: a = 12, b = a / 2 = 6 in h = b = 6

Nadaljujemo na naslednji način: narišemo višino h in namestimo pitagorejski izrek na trikotnik hipotenuze «c» in kraki h in x:

c ² = h ² + xc ²

Nato moramo izračunati vrednost višine iz podatkov (h = b) in višine kraka x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Nadomestitev prejšnjih izrazov:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Zdaj so uvedene številčne vrednosti in poenostavljene:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Pridobitev:

c = 3√5 = 6,71 cm

Rešitev b

Obod P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Rešitev c

Območje kot funkcija višine in dolžine podstavkov je:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Rešitev d

Kot α, ki ga stranski tvori z večjo osnovo, dobimo s trigonometrijo:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44 °

Drugi kot, tisti, ki tvori stransko z manjšo osnovo, je β, ki dopolnjuje α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Reference

1. EA 2003. Elementi geometrije: z vajami in geometrijo kompasa. Univerza v Medellinu.
2. Campos, F. 2014. Matematika 2. Grupo Redakcija Patria.
3. Freed, K. 2007. Odkrijte poligone. Benchmark izobraževalno podjetje.
4. Hendrik, V. 2013. Splošni poligoni. Birkhäuser.
5. IGER. Matematika prvi semester Tacaná. IGER.
6. Jr. Geometrija 2014. Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren in Hornsby. 2006. Matematika: sklepanje in aplikacije. Deseto. Izdaja. Pearsonova vzgoja.
8. Patiño, M. 2006. Matematika 5. Uredniški progreso.
9. Wikipedija. Trapez. Pridobljeno: es.wikipedia.com