LAPLACEOVA PREOBRAZBA: DEFINICIJA, ZGODOVINA IN ZA KAJ GRE - MATEMATIKA - 2026

Laplaceova transformacija je bila v zadnjih letih zelo pomembna v tehniških ved, matematike, fizike, med drugim znanstvenim področjem, prav tako pa so velikega pomena v teoriji omogoča preprost način za reševanje problemov, ki prihajajo iz znanosti in inženirstva.

Prvotno je Laplaceovo preobrazbo predstavil Pierre-Simón Laplace v svoji študiji o teoriji verjetnosti in je bila sprva obravnavana kot matematični predmet, ki ima čisto teoretični interes.

Trenutne aplikacije se pojavijo, ko so različni matematiki poskušali formalno utemeljiti "operativna pravila", ki jih je Heaviside uporabil pri preučevanju enačb elektromagnetne teorije.

Opredelitev

Naj bo f funkcija, definirana za t ≥ 0. Laplaceova transformacija je opredeljena na naslednji način:

Laplaceova transformacija naj bi obstajala, če se prejšnji integral konvergira, sicer naj bi Laplaceova transformacija ne obstajala.

Na splošno se male črke uporabljajo za označevanje funkcije, ki jo je treba spremeniti, velika črka pa ustreza njeni pretvorbi. Na ta način bomo imeli:

Primeri

Upoštevajmo konstantno funkcijo f (t) = 1. Imamo njeno pretvorbo:

Kadar se integral zbliža, torej kadar je s> 0. V nasprotnem primeru s <0, se integral razhaja.

Naj g (t) = t. Laplaceova preobrazba je podana s strani

Z integracijo po delih in zavedanjem, da te ^-st teži k 0, ko t teži v neskončnost in s> 0, skupaj s prejšnjim primerom imamo:

Preobrazba lahko obstaja ali ne obstaja, na primer za funkcijo f (t) = 1 / t integral, ki definira Laplaceovo transformacijo, se ne konvergira in zato njena pretvorba ne obstaja.

Zadostni pogoji za zagotovitev Laplasove preobrazbe funkcije f so, da je f delno neprekinjen za t ≥ 0 in je v eksponentnem vrstnem redu.

Funkcija naj bi bila delno neprekinjena za t ≥ 0, kadar je za kateri koli interval z a> 0 končno število točk t _k, kjer ima f prekinitve in je neprekinjeno v vsakem podintervalu.

Po drugi strani naj bi bila funkcija eksponentnega reda c, če so dejanske konstante M> 0, c in T> 0 take, da:

Kot primeri imamo, da je f (t) = t ² eksponentnega reda, saj je -t ² - <e ^3t za vse t> 0.

Formalno imamo naslednji izrek

Izrek (zadostni pogoji za obstoj)

Če je f delno neprekinjena funkcija za t> 0 in eksponentnega reda c, potem Laplaceova transformacija obstaja za s> c.

Pomembno je poudariti, da gre za pogoj zadostnosti, torej da obstaja funkcija, ki tem pogojem ne ustreza, in kljub temu obstaja njegova Laplaceova transformacija.

Primer tega je funkcija f (t) = t ^-1/2, ki ni ^kos neprekinjeno za t ≥ 0, vendar obstaja njegova Laplasova transformacija.

Laplasova preobrazba nekaterih osnovnih funkcij

Naslednja tabela prikazuje Laplaceove pretvorbe najpogostejših funkcij.

Zgodovina

Laplaceova preobrazba je svoje ime dolžna Pierre-Simonu Laplaceu, francoskemu matematiku in teoretičnemu astronomu, ki se je rodil leta 1749 in umrl leta 1827. Njegova slava je bila taka, da so ga poznali pod imenom Newton of France.

Leta 1744 je Leonard Euler posvetil študij integralom z obliko

kot rešitve navadnih diferencialnih enačb, vendar je hitro prekinil to preiskavo. Pozneje je Joseph Louis Lagrange, ki je zelo občudoval Eulerja, raziskal tudi te vrste integralov in jih povezal s teorijo verjetnosti.

1782, Laplace

Leta 1782 je Laplace začel te integrale proučevati kot rešitve diferencialnih enačb in po mnenju zgodovinarjev se je leta 1785 odločil za preoblikovanje problema, kar je pozneje povzročilo Laplaceove preobrazbe, kot jih razumemo danes.

Ko so ga uvedli v področje teorije verjetnosti, je takratne znanstvenike malo zanimalo in so ga gledali le kot matematični predmet, ki ga je zanimalo le teoretično zanimanje.

Oliver Heaviside

Angleški inženir Oliver Heaviside je sredi 19. stoletja odkril, da lahko diferencialne operaterje obravnavamo kot algebarske spremenljivke, s čimer Laplace preobrazi svojo sodobno uporabo.

Oliver Heaviside je bil angleški fizik, inženir elektrotehnike in matematik, ki se je rodil v Londonu leta 1850 in umrl leta 1925. Medtem ko je poskušal reševati težave z diferencialnimi enačbami, uporabljenimi za teorijo vibracij in s pomočjo Laplasovih študij, je začel oblikovati Sodobne aplikacije Laplaceovih preobrazb.

Rezultati, ki jih je predstavil Heaviside, so se hitro razširili po takratni znanstveni skupnosti, a ker njegovo delo ni bilo strogo, so ga tradicionalni matematiki hitro kritizirali.

Vendar je koristnost Heavisideovega dela pri reševanju enačb iz fizike naredila njegove metode priljubljene pri fizikih in inženirjih.

Kljub tem pomanjkljivostim in po nekaj desetletjih neuspelih poskusov bi lahko na začetku 20. stoletja strogo utemeljil operativna pravila, ki jih je dal Heaviside.

Ti poskusi so obrodili sadove zahvaljujoč prizadevanjem različnih matematikov, kot so Bromwich, Carson, van der Pol.

Lastnosti

Med lastnostmi Laplasove transformacije izstopajo naslednje:

Linearnost

Naj bodo c1 in c2 konstante in funkcije f (t) in g (t), katerih Laplasova pretvorba sta F (s) in G (s), potem imamo:

Zaradi te lastnosti naj bi bila Laplasova transformacija linearni operator.

Primer

Prvi prevodni teorem

Če se zgodi, da:

In "a" je vsako resnično število, zato:

Primer

Ker je Laplasova preobrazba cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), potem:

Drugi prevod izrek

Da

Torej

Primer

Če je f (t) = t ^ 3, potem je F (s) = 6 / s ^ 4. In zato preoblikovanje

je G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Sprememba lestvice

Da

In "a" je resnična vrednost, to moramo storiti

Primer

Ker je transformacija f (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), imamo to

Laplaceova preobrazba izpeljank

Če so f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ neprekinjeni za t ≥ 0 in so eksponentnega reda in f ⁽ⁿ⁾ (t) delno neprekinjeni za t ≥ 0, potem

Laplasova transformacija integralov

Da

Torej

Pomnožitev s t

Če moramo

Torej

Delitev s t

Če moramo

Torej

Periodične funkcije

Naj bo f periodična funkcija z obdobjem T> 0, torej f (t + T) = f (t)

Obnašanje F (s) kot s teži v neskončnost

Če je f neprekinjen v delih in eksponentnega reda in

Torej

Inverzne pretvorbe

Ko uporabimo Laplaceovo transformacijo na funkcijo f (t), dobimo F (s), ki predstavlja to pretvorbo. Na enak način lahko rečemo, da je f (t) inverzna Laplasova transformacija F (s) in se zapiše kot

Vemo, da so Laplasova preobrazba f (t) = 1 in g (t) = t F (s) = 1 / s in G (s) = 1 / s ² , zato imamo to

Nekaj ​​običajnih inverznih Laplasovih transformacij je naslednje

Poleg tega je inverzna Laplasova transformacija linearna, torej je res

Vaja

Najti

Za rešitev te vaje moramo funkcijo F (-e) uskladiti z eno od prejšnje tabele. V tem primeru, če vzamemo + 1 = 5 in z uporabo lastnosti linearnosti inverzne pretvorbe pomnožimo in delimo s 4! Pridobivanje

Za drugo inverzno transformacijo uporabimo delne ulomke, da napišemo funkcijo F (s) in nato lastnost linearnosti, pri čemer dobimo

Kot lahko vidimo iz teh primerov, je običajno, da se funkcija F (-e), ki se ocenjuje, ne ujema natančno s katero od funkcij, podanih v tabeli. Kot je razvidno, je za te primere dovolj, da funkcijo ponovno napišemo, dokler ne doseže ustrezne oblike.

Uporaba Laplaceove preobrazbe

Diferencialne enačbe

Glavna uporaba Laplasovih pretvorb je reševanje diferencialnih enačb.

Z lastnostjo preoblikovanja izpeljanke je jasno, da

Y od n-1 derivatov, ocenjenih na t = 0.

Ta lastnost naredi pretvorbo zelo koristno za reševanje problemov z začetno vrednostjo, kadar gre za diferencialne enačbe s stalnimi koeficienti.

Naslednji primeri prikazujejo, kako uporabiti Laplaceovo transformacijo za reševanje diferencialnih enačb.

Primer 1

Glede na naslednjo težavo z začetno vrednostjo

Za rešitev poiščite pretvorbo Laplace.

Za vsakega člana diferencialne enačbe uporabimo Laplasovo transformacijo

Po lastnosti preoblikovanja izpeljanke imamo

Z razvojem vsega izražanja in črpanjem Y, ki jih imamo

Z delnimi ulomki prepisujemo desno stran enačbe, ki jo dobimo

Končno je naš cilj najti funkcijo y (t), ki ustreza diferencialni enačbi. Z uporabo inverzne Laplasove transformacije dobimo rezultat

Primer 2

Rešiti

Tako kot v prejšnjem primeru uporabimo pretvorbo na obeh straneh enačbe in ločen izraz po pojmu.

Tako imamo rezultat

Nadomeščanje z danimi začetnimi vrednostmi in reševanje za Y (s)

Z enostavnimi ulomki lahko enačbo napišemo na naslednji način

In uporaba inverzne Laplasove transformacije nam daje rezultat

V teh primerih lahko napačno sklepamo, da ta metoda ni veliko boljša od tradicionalnih metod za reševanje diferencialnih enačb.

Prednosti Laplaceove preobrazbe so, da vam ni treba uporabljati sprememb parametrov ali skrbeti za različne primere metode nedoločenega koeficienta.

Poleg tega pri reševanju problemov z začetno vrednostjo s to metodo že od začetka uporabljamo začetne pogoje, zato za iskanje določene rešitve ni treba izvajati drugih izračunov.

Sistemi diferencialnih enačb

Laplaceova transformacija se lahko uporabi tudi za iskanje rešitev istočasnih navadnih diferencialnih enačb, kot kaže naslednji primer.

Primer

Reši

Z začetnimi pogoji x (0) = 8 in y (0) = 3.

Če moramo

Torej

Rezultat je reševanje

In z uporabo obratne Laplaceove preobrazbe, ki jo imamo

Mehanika in električni tokokrogi

Laplaceova transformacija je velikega pomena v fiziki, ima predvsem aplikacije za mehaniko in električna vezja.

Preprost električni tokokrog je sestavljen iz naslednjih elementov

Stikalo, baterija ali vir, induktor, upor in kondenzator. Ko je stikalo zaprto, nastane električni tok, ki ga označimo z i (t). Naboj na kondenzatorju označujemo s q (t).

Po drugem zakonu Kirchhoffa mora biti napetost, ki jo ustvari vir E v zaprtem krogu, enaka vsoti vsakega padca napetosti.

Električni tok i (t) je povezan z nabojem q (t) na kondenzatorju za i = dq / dt. Po drugi strani je padec napetosti v vsakem od elementov opredeljen na naslednji način:

Padec napetosti preko upora je iR = R (dq / dt)

Padec napetosti na induktorju je L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Padec napetosti čez kondenzator je q / C

S temi podatki in uporabo Kirchhoffovega drugega zakona za preprosto zaprto vezje dobimo diferencialno enačbo drugega reda, ki opisuje sistem in nam omogoča, da določimo vrednost q (t).

Primer

Induktor, kondenzator in upor so priključeni na baterijo E, kot je prikazano na sliki. Induktor je 2 henrija, kondenzator 0,02 farad, upor pa 16 ohmov. V času t = 0 je vezje zaprto. Poiščite polnjenje in tok kadar koli t> 0, če je E = 300 voltov.

Imamo, da je diferencialna enačba, ki opisuje to vezje, naslednja

Kjer so začetni pogoji q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Z uporabo Laplasove transformacije to dobimo

In reševanje za Q (t)

Nato uporabimo inverzno Laplaceovo transformacijo

Reference

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplaceova transformacija za inženirje elektronike. Limusa.
2. Ruiz, LM in Hernandez, poslanec (2006). Diferencialne enačbe in Laplaceova pretvorba z aplikacijami. Uredništvo UPV.
3. Simmons, GF (1993). Diferencialne enačbe z aplikacijami in zgodovinskimi zapiski. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace preobrazi. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Diferencialne enačbe s težavami mejnih vrednosti. Cengage Learning Editores, SA