FOURIEROVA PREOBRAZBA: LASTNOSTI, APLIKACIJE, PRIMERI - MATEMATIKA - 2026

Fourierjeva transformacija je analitska metoda ustreznost usmerjena integrabilni funkcij, ki spada v družino integralnih transformacij. Sestavljen je iz redefinicije funkcij f (t) v smislu Cos (t) in Sen (t).

Trigonometrične identitete teh funkcij skupaj z njihovimi izpeljanimi in antiderivacijskimi lastnostmi služijo za določitev Fourierove transformacije z naslednjo kompleksno funkcijo:

Kar je res, dokler je izraz smiseln, torej kadar je nepravilni integral konvergenten. Algebraično je Fourierova transformacija povedano kot linearni homeomorfizem.

Vsaka funkcija, ki jo je mogoče delati s Fourierovo transformacijo, mora biti nična izven določenega parametra.

Lastnosti

Vir: pexels

Fourierjeva transformacija izpolnjuje naslednje lastnosti:

Obstoj

Za preverjanje obstoja Fourierove transformacije v funkciji f (t), opredeljeni v reals R , je treba izpolniti naslednja 2 aksioma:

1. f (t) je delno neprekinjen za vse R
2. f (t) je integralen v R

Linearnost Fourierove transformacije

Naj bosta M (t) in N (t) poljubni dve funkciji z določenimi Fourierovimi pretvorbami s katero koli konstanto a in b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Kar podpira tudi linearnost integralnega istoimenskega dela.

Fourierova transformacija derivata

Obstaja funkcija f, ki je neprekinjena in integrirana v vse slike, kjer:

In izvod f (f ') je neprekinjeno in delno opredeljen skozi R

Fourierova transformacija derivata je definirana z integracijo po delih z naslednjim izrazom:

F (z) = iz F (z)

V izpeljavah višjega reda se bo uporabljal na homologen način, kjer za vse n 1 imamo:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Diferenciacija Fourierove transformacije

Obstaja funkcija f, ki je neprekinjena in integrirana v vse slike, kjer:

Fourierjeva transformacija prevoda

Za vsako θ, ki pripada množici S in T, ki pripada množici S ', imamo:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Z τ _a deluje kot prevodni operater na vektorju a.

Prevod Fourierjeve preobrazbe

Za vsako θ, ki pripada množici S in T, ki pripada množici S ', imamo:

τ _a F = F τ _a F = F

Za vse , ki spadajo v R

Fourierova transformacija skupine lestvic

Za vse θ, ki pripada množici S. T, ki pripada množici S '

λ, ki pripada R - {0} :

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Če je f neprekinjena in jasno združljiva funkcija, kjer je a> 0. Potem:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Za prikaz tega rezultata lahko nadaljujemo s spremembo spremenljivke.

Ko je T → +, potem s = pri → + ∞

Ko je T → - potem s = pri → - ∞

Simetrija

Za preučitev simetrije Fourierove transformacije je treba preveriti identiteto Parsevala in formule Plancherel.

Imamo θ in δ, ki spadata v S. Od tod lahko sklepamo, da:

Pridobivanje

1 / (2π) ^d { F, F } Parseval identiteta

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherelova formula

Fourierjeva transformacija konvolucijskega izdelka

Z zasledovanjem podobnih ciljev kot pri Laplasovi preobrazbi se uvijanje funkcij nanaša na izdelek med njihovimi Fourierjevimi transformacijami.

Imamo f in g kot 2 omejeni, definirani in popolnoma integrirani funkciji:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Nenehnost in padec v neskončnost

Čemu služi Fourierjeva transformacija?

Služi predvsem za bistveno poenostavitev enačb, hkrati pa pretvori izpeljane izraze v elemente moči, pri čemer označuje diferencialne izraze v obliki integrabilnih polinomov.

Pri optimizaciji, modulaciji in modeliranju rezultatov deluje kot standardiziran izraz, saj je že več generacij pogost vir inženiringa.

Serija Fourier

Navedene so v seriji Cosines in Sines; Služijo za lažje delo s splošnimi periodičnimi funkcijami. Ko so uporabljene, so del tehnik za reševanje navadnih in delnih diferencialnih enačb.

Fourierjeve serije so še bolj splošne od Taylorjevih serij, saj razvijejo periodične diskontinuirane funkcije, ki nimajo Taylorjeve predstavitve.

Druge oblike serije Fourier

Da bi analitično razumeli Fourierovo preobrazbo, je pomembno pregledati druge načine, kako najti Fourierjevo vrsto, dokler ni mogoče določiti Fourierove serije v njeni kompleksni notaciji.

-Fourierjeva serija na funkciji obdobja 2L

Velikokrat je potrebno strukturo Fourierove serije prilagoditi periodičnim funkcijam, katerih obdobje je v intervalu p = 2L> 0.

-Fourier serije z neparnimi in enakomernimi funkcijami

Upošteva se interval, ki nudi prednosti pri izkoriščanju simetričnih značilnosti funkcij.

Če je f enakomeren, se serija Fourier vzpostavi kot niz kosinusov.

Če je f neparno, se serija Fourier vzpostavi kot niz Sines.

-Kompleksna oznaka serije Fourier

Če imamo funkcijo f (t), ki ustreza vsem zahtevam za razvoj serije Fourier, jo je mogoče označiti v intervalu z uporabo njegovega zapletenega zapisa:

Prijave

Vir: pexels

Izračun temeljne rešitve

Fourierova transformacija je močno orodje pri preučevanju delnih diferencialnih enačb linearnega tipa s konstantnimi koeficienti. Za funkcije z neomejenimi domenami veljajo enako.

Tako kot Laplaceova transformacija tudi Fourierjeva funkcija delno izpeljano funkcijo pretvori v navadno diferencialno enačbo, veliko enostavnejšo za upravljanje.

Problem Cauchy za enačbo toplote predstavlja polje pogoste uporabe Fourierove transformacije, kjer nastaja jedro toplote ali Dirichletovo jedro.

Kar zadeva izračun temeljne rešitve, so predstavljeni naslednji primeri, kjer je običajno najti Fourierovo transformacijo:

Teorija signalov

Splošni razlog za uporabo Fourierove transformacije v tej veji je predvsem zaradi značilne razgradnje signala kot neskončne superpozicije lažje obdelanih signalov.

Lahko je zvočni val ali elektromagnetno valovanje, Fourierjeva transformacija jo izrazi v superpoziciji preprostih valov. Ta zastopanost je v elektrotehniki precej pogosta.

Na drugi strani so primeri uporabe Fourierove transformacije na področju signalne teorije:

Primeri

Primer 1

Določite Fourierovo transformacijo za naslednji izraz:

Lahko ga predstavljamo tudi na naslednji način:

F (t) = Sen (t)

Pravokotni impulz je opredeljen:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Fourierova preobrazba se uporabi za naslednji izraz, ki spominja na izrek modulacije.

f (t) = p (t) Sen (t)

Kje: F = (1/2) i

In Fourierova transformacija je opredeljena z:

F = (1/2) i

Primer 2

Za izraz izrazite Fourierovo transformacijo:

Ker je f (h) enakomerna funkcija, lahko to trdimo

Integracija po delih se uporablja tako, da izberemo spremenljivke in njihove razlike, kot sledi

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Namestitev, ki jo imate

Po vrednotenju po temeljnem teoremu preračuna

Z uporabo predhodnega znanja o diferencialnih enačbah prvega reda je izraz označen kot

Za pridobitev K ocenjujemo

Končno je Fourierova transformacija izraza definirana kot

Predlagane vaje

• 

• 

• Pridobite pretvorbo izraza W / (1 + w ² )

Reference

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier analiza. Addison - Wesley Iberoamericana, Avtonomna univerza v Madridu, 1995.
2. Lions, JL, Matematična analiza in numerične metode za znanost in tehnologijo. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, Gaussova jedra imajo samo gausove maksimizatorje. Izum. Matematika. 102 , 179–208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series in Integrals. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed Hermann, Pariz, 1966.