- Dokaz osnovnega izrek aritmetike
- Edinstvenost primarne faktorizacije
- Prijave
- Najpomembnejše številke v naravi
- Prime številke in spletno nakupovanje
- Rešene vaje
- - Vaja 1
- Rešitev
- - Vaja 2
- Rešitev
- Reference
Osnovni izrek aritmetičnih držav, da se vsako naravno število večje od 1 lahko razgradi kot produkt praštevila - nekateri se lahko ponovi - in ta oblika je edinstvena za to številko, čeprav je vrstni red dejavnikov drugačna.
Spomnimo se, da je prvo število p tisto, ki samo priznava sebe in 1. kot pozitivne delitve. Naslednje številke so preproste: 2, 3, 5, 7, 11, 13 in tako naprej, saj obstajajo neskončnosti. Številka 1 se ne šteje za prime, saj ima le enega delitelja.
Slika 1. Euklid (levo) je v svoji knjigi Elementi (350 pr. N. Št.) Dokazal temeljni izrek aritmetike, prvi popolni dokaz pa je zaslužen za Carla F. Gaussa (1777–1855) (desno). Vir: Wikimedia Commons.
Številke, ki ne ustrezajo zgornjim, se imenujejo sestavljena števila, kot so 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Vzemimo za primer številko 10 in takoj vidimo, da se lahko razgradi kot produkt 2 in 5:
10 = 2 × 5
Obe 2 in 5 sta dejansko številki. Izrek določa, da je to mogoče za katero koli število n:
Kjer so p 1 , p 2 , p 3 … p r primarna števila in k 1 , k 2 , k 3 ,… k r so naravna števila. Torej, prva števila delujejo kot gradniki, iz katerih s pomočjo množenja gradijo naravna števila.
Dokaz osnovnega izrek aritmetike
Začnemo s tem, da pokažemo, da je vsako število mogoče razgraditi na glavne dejavnike. Naj bo naravno število n> 1, prime ali kompozit.
Na primer, če je n = 2, ga lahko izrazimo kot: 2 = 1 × 2, kar je prvotno. Na enak način nadaljujte z naslednjimi številkami:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Tako nadaljujemo, razgrajujemo vsa naravna števila, dokler ne pridemo do števila n -1. Poglejmo, ali lahko to storimo z naslednjo številko: n.
Če je n primeren, ga lahko razstavimo kot n = 1 × n, vendar predpostavimo, da je n sestavljen in ima delitelj d, logično manjši od n:
1 <d <n
Če je n / d = p 1 , s p 1 prvo število, potem je n zapisano kot:
n = p 1 .d
Če je d prime, ne gre več, če pa ni, obstaja število n 2, ki je delitelj na d in manjše od tega: n 2 <d, zato lahko d zapišemo kot zmnožek n 2 z drugim prva številka p 2 :
d = p 2 n 2
Če bi pri zamenjavi prvotne številke n navedel:
n = p 1 .p 2 .n 2
Zdaj pa predpostavimo, da tudi n 2 ni prvo število in ga zapišemo kot produkt preprostega števila p 3 , in sicer s svojim deliteljem n 3 , tako da n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Ta postopek ponavljamo dokončno tolikokrat, dokler ne pridobimo:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
To pomeni, da je mogoče razdeliti vsa cela števila od 2 do števila n, kot produkt pravih števil.
Edinstvenost primarne faktorizacije
Zdaj preverimo, da je ta razgradnja razen v vrstnem redu dejavnikov edinstvena. Predpostavimo, da je n mogoče zapisati na dva načina:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (z r ≤ s)
Seveda so q 1 , q 2 , q 3 … tudi prva števila. Ker se p 1 deli (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ), potem je p 1 enak katerem koli od “q”, ni pomembno kateri, zato lahko rečemo, da je p 1 = q 1 . N delimo na p 1 in dobimo:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Postopek ponavljamo, dokler ne razdelimo vsega s p r , nato dobimo:
1 = q r + 1 … q s
Toda pri r <s ni mogoče priti do q r + 1 … q s = 1, le če je r = s. Čeprav s priznanjem r = s priznamo tudi, da sta "p" in "q" enaka. Zato je razkroj enkraten.
Prijave
Kot smo že povedali, primarna števila predstavljajo, če želite, atome števil, njihove osnovne sestavine. Tako ima temeljni izrek aritmetike številne aplikacije, najbolj očitna: lažje lahko delamo z velikimi števili, če jih izrazimo kot produkt manjših števil.
Na enak način lahko najdemo največji skupni večkratnik (LCM) in največji skupni delitelj (GCF), postopek, ki nam pomaga, da lažje seštevamo ulomke, najdemo korenine velikega števila ali delujemo z radikali, racionaliziramo in rešujemo zelo raznolike aplikacije.
Poleg tega so preproste številke zelo enigmatične. Vzorec pri njih še ni prepoznan in ni mogoče vedeti, kateri bo naslednji. Največji doslej so ga našli računalniki in ima 24.862.048 števk, čeprav se vsakokrat nove nove številke pojavljajo manj pogosto.
Najpomembnejše številke v naravi
Cicadas, cicádidos ali cicadas, ki živijo na severovzhodu ZDA, se pojavljajo v ciklih od 13 do 17 let. Obe sta glavni številki.
Na ta način se cikade izogibajo plenilcem ali tekmecem, ki imajo drugačna obdobja rojstva, niti različne sorte cicad ne tekmujejo med seboj, saj se v istem letu ne ujemajo.
Slika 2. Magicicada cicada v vzhodnih Združenih državah Amerike se pojavi vsakih 13 do 17 let. Vir: Pxfuel.
Prime številke in spletno nakupovanje
V kriptografiji se uporabljajo glavne številke, da se pri nakupih prek interneta skrivajo podatki o kreditnih karticah. Na ta način se podatki, da kupec doseže v trgovini natančno, ne da bi se izgubil ali padel v roke brezobzirnih ljudi.
Kako? Podatki na karticah so kodirani s številko N, ki jo lahko izrazimo kot produkt pravih števil. Te primarne številke so ključ, ki ga podatki razkrivajo, vendar javnosti niso znani, dekodirajo jih lahko le v spletu, kamor so usmerjeni.
Razporeditev števila v faktorje je enostavna naloga, če so številke majhne (glejte razrešene vaje), vendar v tem primeru kot ključ uporabimo enostavna števila 100 števk, ki pri množenju dobijo veliko večje številke, katerih podrobna razgradnja vključuje ogromno nalogo .
Rešene vaje
- Vaja 1
1029 razdelite na glavne dejavnike.
Rešitev
1029 je deljivo s 3. Znano je, ker je pri seštevanju njegovih števk vsota večkratna 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Ker vrstni red dejavnikov ne spremeni izdelka, lahko začnemo tam:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Po drugi strani pa je 343 = 7 3 , potem:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
In ker sta tako 3 kot 7 preprosti številki, je to razpad 1029.
- Vaja 2
Faktor triniala x 2 + 42x + 432.
Rešitev
Trinomal je prepisan v obliki (x + a). (x + b) in najti moramo vrednosti a in b, tako da:
a + b = 42; ab = 432
Število 432 se razgradi v osnovne faktorje in od tod se izbere ustrezna kombinacija s poskusom in napako, tako da dodani faktorji dajo 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Od tu obstaja več možnosti za zapis 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
In vse je mogoče najti s kombiniranjem izdelkov med glavnimi faktorji, toda za rešitev predlagane vaje je edina primerna kombinacija: 432 = 24 × 18 od 24 + 18 = 42, torej:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Reference
- Baldor, A. 1986. Teoretična praktična aritmetika. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. Skriven zakonik narave. Pridobljeno: bbc.com.
- De Leon, Manuel, prve številke: varuhi interneta. Pridobljeno iz: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Teorija števil I: Temeljna izrek aritmetike. Pridobljeno: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedija. Temeljni izrek aritmetike. Pridobljeno: es.wikipedia.org.