Prvi in drugi izrek Talesa Mileta temelji na določitvi trikotnikov iz podobnih (prvi izrek) ali iz krogov (drugi izrek). Bili so zelo koristni na različnih področjih. Prvi izrek je bil na primer zelo uporaben za merjenje velikih struktur, ko ni bilo prefinjenih merilnih instrumentov.
Thales of Miletus je bil grški matematik, ki je veliko prispeval k geometriji, med katerimi izstopata ta dva izrekanja (v nekaterih besedilih je zapisan tudi kot Thales) in njihove uporabne aplikacije. Ti rezultati so bili uporabljeni skozi zgodovino in so omogočili reševanje najrazličnejših geometrijskih problemov.
Tales iz Mileta
Thalesova prva teorema
Thalesov prvi izrek je zelo uporabno orodje, ki med drugim omogoča gradnjo trikotnika, podobnega drugemu, prej znanemu. Od tu izhajajo različne različice izrekanja, ki jih je mogoče uporabiti v več kontekstih.
Preden podamo izjavo, se spomnimo nekaterih pojmov o podobnosti trikotnikov. V bistvu sta si dva trikotnika podobna, če sta njuna kota skladna (imata enako mero). To pomeni, da če sta si dva trikotnika podobna, sta si njuni ustrezni (ali homologni) strani sorazmerni.
Thalesov prvi izrek pravi, da če črta črto vzporedno s katero od njenih strani v danem trikotniku, bo dobljeni novi trikotnik podoben začetnemu trikotniku.
Dobi se tudi razmerje med tvorjenimi koti, kot je prikazano na naslednji sliki.
Uporaba
Med svojimi številnimi aplikacijami izstopa posebej zanimiv in povezan z enim od načinov merjenja velikih struktur v antiki, času, ko je Thales živel in v katerem ni bilo nobenih sodobnih merilnih naprav, ki bi obstajajo zdaj.
Govorilo se je, da je tako Thalesu uspelo izmeriti najvišjo piramido v Egiptu, Cheops. Thales je za to domneval, da se odsevi sončnih žarkov dotikajo tal, ki tvorijo vzporedne črte. Pod to predpostavko je navpično zabil palico ali trs v tla.
Nato je uporabil podobnost obeh nastalih trikotnikov, enega, ki je tvorjen po dolžini sence piramide (ki ga je mogoče enostavno izračunati) in višini piramide (neznano), drugega pa tvorijo dolžine sence in višino palice (ki jo je mogoče tudi enostavno izračunati).
Z uporabo sorazmernosti med temi dolžinami je mogoče rešiti in poznati višino piramide.
Čeprav lahko ta metoda merjenja daje pomembno napako približevanja glede natančnosti višine in je odvisna od vzporednosti sončnih žarkov (kar je odvisno od natančnega časa), je treba priznati, da gre za zelo iznajdljivo idejo in da je zaenkrat nudila dobro alternativno meritev.
Primeri
Poiščite vrednost x za vsak primer:
Thalesov drugi izrek
Drugi izrek Thalesa določa pravi trikotnik, vpisan v krog na vsaki isti točki.
Trikotnik, vpisan v obod, je trikotnik, katerega vrhovi so na obodu in tako ostanejo v njem.
Talesov drugi izrek natančneje navaja naslednje: glede na krog s središčem O in premerom AC vsaka točka B na obodu (razen A in C) določa pravi trikotnik ABC, s pravim kotom
Za utemeljitev upoštevajmo, da OA in OB ter OC ustrezajo polmeru oboda; zato so njihove meritve enake. Iz tega sledi, da sta trikotnika OAB in OCB izosceles, kjer
Znano je, da je vsota kotov trikotnika enaka 180 °. S pomočjo trikotnika ABC imamo:
2b + 2a = 180 °.
Enako velja, da imamo b + a = 90º in b + a =
Upoštevajte, da je pravi trikotnik, ki ga zagotavlja Thalesov drugi izrek, ravno tisti, katerega hipotenuza je enaka premeru oboda. Zato ga popolnoma določi polkrog, ki vsebuje točke trikotnika; v tem primeru zgornji polkrog.
Opazimo tudi, da je v desnem trikotniku, dobljenem s Thalesovim drugim izrekom, hipotenuza razdeljena na dva enaka dela z OA in OC (polmer). Ta mera je enaka odseku OB (tudi polmer), ki ustreza mediani trikotnika ABC po B.
Z drugimi besedami, dolžina mediane desnega trikotnika ABC, ki ustreza točki B, je popolnoma določena za polovico hipotenuze. Spomnimo se, da je mediana trikotnika odsek od ene od opornic do sredine točke nasprotne strani; v tem primeru segment BO.
Obrezan obseg
Drug način gledanja na Thalesov drugi izrek je skozi obod, ki je zapisan v pravi trikotnik.
Na splošno velja, da je obod, ki je pripisan poligonu, sestavljen iz oboda, ki poteka skozi vsako od njegovih vrhov, kadar koli je mogoče narisati.
Z uporabo drugega Tharesovega drugega izrekanja, ki mu dajemo pravokotni trikotnik, lahko vedno sestavimo obod, ki mu je obrezan, s polmerom, ki je enak polovici hipotenuze in obodu (središču oboda), ki je enak sredi točke hipotenuze.
Uporaba
Zelo pomembna uporaba Thalesovega drugega izrekanja in morda najbolj razširjena je iskanje tangentnih črt do določenega kroga, skozi točko P, ki je zunaj njega (znana).
Upoštevajte, da imata krog (na sliki spodaj narisan v modri barvi) in zunanjo točko P dve premici, ki sta tangentni na krožnico, ki prehajata skozi P. Naj bosta T in T 'točki tangente, r polmer kroga in Ali pa središče.
Znano je, da je odsek, ki gre od središča kroga do točke istega istega, pravokoten na to tangentno črto. Torej je kot OTP pravilen.
Iz tistega, kar smo videli prej v Thalesovem prvem izreku in njegovih različnih različicah, vidimo, da je mogoče trikotnik OTP vpisati v drug krog (rdeče barve).
Podobno dobimo, da se lahko trikotnik OT'P vpiše v isti prejšnji obod.
Z drugim izrekom Thalesa dobimo tudi, da je premer tega novega oboda natančno hipotenuza trikotnika OTP (ki je enaka hipotenuzi trikotnika OT'P), središče pa je središče te hipotenuze.
Če želite izračunati središče novega oboda, je dovolj, da izračunamo srednjo točko med središčem - recimo M - začetnega oboda (ki ga že poznamo) in točko P (ki jo tudi poznamo). Potem bo polmer razdalja med točko M in P.
Z polmerom in središčem rdečega kroga lahko najdemo njegovo kartezijansko enačbo, za katero si zapomnimo, da jo podaja (xh) 2 + (yk) 2 = c 2 , kjer je c polmer in točka (h, k) sredino oboda.
Zdaj, ko poznamo enačbe obeh krogov, jih lahko presečemo, tako da rešimo sistem enačb, ki jih tvorita, in tako dobimo točki tirnic T in T '. Končno, da poznamo želene tangentne črte, je dovolj, da najdemo enačbo črt, ki potekajo skozi T in P ter skozi T 'in P.
Primer
Razmislite o obodu premera AC, središču O in polmeru 1 cm. Naj bo točka točka oboda tako, da je AB = AC. Kako visok je AB?
Rešitev
Po Thalesovem drugem izreku imamo, da je trikotnik ABC pravi in hipotenuza ustreza premeru, ki v tem primeru meri 2 cm (polmer je 1 cm). Nato po pitagorejskem teoremu imamo:
Reference
- Ana Lira, PJ (2006). Geometrija in trigonometrija. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
- Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearsonova vzgoja.
- Gutiérrez, Á. TO. (2004). Metodologija in aplikacije matematike na Ministrstvu za šolstvo ESO.
- IGER. (2014). Matematika 2. semester Zaculeu. Gvatemala: IGER.
- José Jiménez, LJ (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
- M., S. (1997). Trigonometrija in analitična geometrija. Pearsonova vzgoja.
- Pérez, MA (2009). Zgodovina matematike: izzivi in zmage skozi njene znake. Uredniška vizija Libros.
- Viloria, N., & Leal, J. (2005). Ravna analitska geometrija. Uredništvo Venezolana CA