EUKLIDOV IZREK: DOKAZ, UPORABA IN VAJE - MATEMATIKA - 2026

V Euclid izrek kaže lastnosti trikotnika na narisati črto, ki ločuje IT v dveh novih trikotnikov, ki so podobni in, po drugi strani, so podobna prvotnemu trikotniku; potem obstaja razmerje sorazmernosti.

Euklid je bil eden največjih matematikov in geometrikov antične dobe, ki je opravil več dokazov pomembnih teoremov. Eden glavnih je tisti, ki nosi njegovo ime, ki je imel široko uporabo.

Tako je, ker s tem izrekom na preprost način razloži geometrijska razmerja, ki obstajajo v pravem trikotniku, kjer so noge trikotnika povezane s svojimi projekcijami na hipotenuzo.

Formule in demonstracije

Euklidov izrek predlaga, da se v vsakem pravem trikotniku, ko je narisana črta - ki predstavlja višino, ki ustreza vrhu pravega kota glede na hipotenuzo - iz izvirnika tvorita dva desna trikotnika.

Ti trikotniki bodo podobni drug drugemu in bodo tudi podobni prvotnemu trikotniku, kar pomeni, da sta njuni podobni strani sorazmerni med seboj:

Koti treh trikotnikov so skladni; to pomeni, da pri zasuku za 180 stopinj glede na njihovo točko en kot sovpada z drugim. To pomeni, da bodo vsi enaki.

Na ta način lahko podobnost med tremi trikotniki preverimo tudi z enakostjo njihovih kotov. Iz podobnosti trikotnikov Euklid ugotovi, kakšna sta razmerja le-teh iz dveh izrek:

- Teorem o višini.

- Teorem o nogah.

Ta izrek ima široko uporabo. V starih časih so ga uporabljali za izračun višine ali razdalje, kar je predstavljalo velik napredek za trigonometrijo.

Trenutno se uporablja na različnih področjih, ki temeljijo na matematiki, kot so inženiring, fizika, kemija in astronomija, med številnimi drugimi področji.

Teorem o višini

V tem izrek je ugotovljeno, da je v katerem koli pravem trikotniku višina, narisana iz pravega kota glede na hipotenuzo, geometrijska sorazmerna srednja (kvadrat višine) med projekcijami nog, ki jih določa na hipotenuzo.

To pomeni, da bo kvadrat višine enak pomnožitvi projiciranih krakov, ki tvorijo hipotenuzo:

h _c ² = m _* n

Demonstracija

Glede na trikotnik ABC, ki je ravno v točki C, se pri risanju višine ustvari dva podobna desna trikotnika, ADC in BCD; zato so njihove ustrezne strani sorazmerne:

Tako, da višina h _c, ki ustreza segmentu CD, ustreza hipotenuzi AB = c, torej imamo:

Po drugi strani to ustreza:

Rešimo za hipotenuzo (h _c ), da pomnožimo dva člana enakosti, imamo:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Tako vrednost hipotenuze poda:

Teorem noge

V tem izreku je ugotovljeno, da bo v vsakem pravem trikotniku merilo vsake noge geometrijska sorazmerna sredina (kvadrat vsake noge) med mero hipotenuze (popolna) in projekcijo vsake nanjo:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstracija

Glede na trikotnik ABC, ki je ravno v točki C, in sicer tako, da je njegova hipotenuza c, pri risanju višine (h) določimo projekcije nog a in b, ki sta odseka m in n in ki ležita na hipotenuzo.

Tako imamo, da višina, narisana v desnem trikotniku ABC, ustvari dva podobna desna trikotnika, ADC in BCD, tako da sta ustrezni strani sorazmerni, kot je ta:

DB = n, kar je projekcija noge CB na hipotenuzo.

AD = m, kar je projekcija noge AC na hipotenuzo.

Nato se hipotenuza c določi s vsoto krakov njenih projekcij:

c = m + n

Zaradi podobnosti trikotnikov ADC in BCD imamo:

Zgoraj je enako:

Rešimo za nogo "a", da pomnožimo dva člana enakosti, imamo:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Tako vrednost noge "a" podaja:

Na podoben način zaradi podobnosti trikotnikov ACB in ADC imamo:

Zgoraj je enako:

Rešimo za nogo "b", da pomnožimo dva člana enakosti, imamo:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Tako vrednost noge "b" poda:

Razmerje med Euklidovimi izrekami

Teoreme glede višine in nog so med seboj povezane, ker je merilo obeh narejeno glede na hipotenuzo desnega trikotnika.

Skozi razmerje Euclidovih teoremov lahko najdemo tudi vrednost višine; to je mogoče z reševanjem vrednosti m in n iz teorema o nogah in jih nadomestimo v izrek višine. Na ta način je ugotovljeno, da je višina enaka množitvi nog, deljeno s hipotenuzo:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

V izrek višine nadomestimo m in n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Rešene vaje

Primer 1

Glede na trikotnik ABC, desno pri A, določite merilo AC in AD, če sta AB = 30 cm in BD = 18 cm

Rešitev

V tem primeru imamo meritve ene od projiciranih nog (BD) in ene od krakov prvotnega trikotnika (AB). Na ta način lahko uporabimo teorem o nogah, da bi našli vrednost noge BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* pr

900 = 18 _* pr

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Vrednost CD-ja za noge lahko ugotovimo, če vemo, da je BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Zdaj je mogoče določiti vrednost AC noge in znova uporabiti teorem o nogi:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Za določitev vrednosti višine (AD) uporabimo izrek o višini, saj sta vrednosti projiciranih krakov CD in BD znani:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Primer 2

Določite vrednost višine (h) trikotnika MNL, desno v N, pri čemer poznate mere odsekov:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Rešitev

Imamo mero ene od nog, ki je projicirana na hipotenuzo (PM), kot tudi mere nog prvotnega trikotnika. Na ta način lahko uporabimo teorem o krakih in poiščemo vrednost druge projicirane noge (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Ker je vrednost nog in hipotenuze že znana, lahko s pomočjo razmerja teoremov višine in nog določimo vrednost višine:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Reference

1. Braun, E. (2011). Kaos, fraktali in čudne stvari. Sklad ekonomske kulture.
2. Cabrera, VM (1974). Sodobna matematika, 3. zvezek.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). 3. letnik matematike. Karakas: Santillana.
4. Enciklopedija Britannica, i. (devetnajst devetdeset pet). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Založba enciklopedije Britannica.
5. Euclid, RP (1886). Euklidovi elementi geometrije.
6. Guardeño, AJ (2000). Zapuščina matematike: od Euklida do Newtona, geniji skozi svoje knjige. Univerza v Sevilli.