Teorem o Bolzanu pravi, da če je funkcija neprekinjena v vsaki točki zaprtega intervala in se prepriča, da imata slika "a" in "b" (pod funkcijo) nasprotna znaka, potem bo obstajala vsaj ena točka " c "v odprtem intervalu (a, b) tako, da bo funkcija, ocenjena v" c ", enaka 0.
Ta izrek je leta 1850 izpovedal filozof, teolog in matematik Bernard Bolzano. Ta znanstvenik, rojen na današnji Češki republiki, je bil eden prvih matematikov v zgodovini, ki je uradno dokazal lastnosti neprekinjenih funkcij.
Pojasnilo
Izrek Bolzano je znan tudi kot izrek vmesnih vrednosti, ki pomaga pri določanju specifičnih vrednosti, zlasti ničel, nekaterih resničnih funkcij realne spremenljivke.
V dani funkciji se f (x) nadaljuje - to pomeni, da sta f (a) in f (b) povezana z krivuljo-, kjer je f (a) pod osjo x (negativna), f (b) pa z nad osjo x (pozitivno) ali obratno, grafično bo na osi x postavljena mejna točka, ki bo predstavljala vmesno vrednost «c», ki bo med «a» in «b», in vrednostjo f (c) bo enako 0.
Ko grafično analiziramo izrek Bolzana, je mogoče razbrati, da je za vsako neprekinjeno funkcijo f, določeno v intervalu, kjer je f (a) * f (b) manj kot 0, znotraj njega vsaj en koren «c» te funkcije intervala (a, b).
Ta izrek ne določa števila točk v tem odprtem intervalu, navaja le, da je vsaj 1 točka.
Demonstracija
Da bi dokazali teorem Bolzana, brez izgube splošnosti domnevamo, da sta f (a) <0 in f (b)> 0; Tako lahko obstaja veliko vrednosti med "a" in "b", za katere je f (x) = 0, vendar je treba prikazati samo eno.
Začnemo z oceno f na sredini (a + b) / 2. Če je f ((a + b) / 2) = 0, se dokaz konča tukaj; v nasprotnem primeru je f ((a + b) / 2) pozitiven ali negativen.
Izbrana je ena od polovic intervala, tako da so znaki funkcije, ocenjeni v skrajnostih, različni. Ta novi interval bo.
Zdaj, če f, ocenjeno na sredini, ni nič, se izvede ista operacija kot prej; torej je izbrana polovica tega intervala, ki izpolnjuje pogoj znakov. Naj bo to nov interval.
Če nadaljujete s tem postopkom, imate dve zaporedji {an} in {bn}, tako da:
{an} narašča in {bn} upada:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Če izračunate dolžino vsakega intervala, boste morali:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Zato je meja, ko se n približuje neskončnosti (bn-an), enaka 0.
Z uporabo {an} se povečuje in omejuje, {bn} pa se zmanjšuje in omejuje, imamo vrednost «c» tako, da:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Omejitev an je "c", meja {bn} pa je tudi "c". Zato je glede na kateri koli δ> 0 vedno "n" tak, da je interval vsebovan znotraj intervala (c-δ, c + δ).
Zdaj je treba pokazati, da je f (c) = 0.
Če je f (c)> 0, potem je f neprekinjen, obstaja ε> 0 tak, da je f pozitiven skozi celoten interval (c - ε, c + ε). Vendar, kot je že omenjeno, obstaja vrednost "n" taka, da se f prijava spremeni in poleg tega je vsebovana znotraj (c - ε, c + ε), kar je protislovje.
Če je f (c) <0, potem ker je f neprekinjen, obstaja ε> 0 tak, da je f v intervalu negativen (c - ε, c + ε); vendar obstaja vrednost "n" taka, da se f prijava spremeni. Izkazalo se je, da je vsebovano znotraj (c - ε, c + ε), kar je tudi protislovje.
Zato je f (c) = 0 in to smo želeli dokazati.
Za kaj gre?
Iz njegove grafične interpretacije je izrek Bolzano uporabljen za iskanje korenin ali ničel v neprekinjeni funkciji s pomočjo bisekcije (približevanja), ki je postopni način iskanja, ki intervale vedno deli na 2.
Nato se vzame interval ali tam, kjer pride do spremembe znaka, postopek pa se ponavlja, dokler se interval ne zmanjša in zmanjša, da se lahko približamo želeni vrednosti; torej na vrednost, ki jo funkcija naredi 0.
Če povzamemo, da uporabimo teorem Bolzana in tako najdemo korenine, omejimo ničle funkcije ali dodamo rešitev enačbi, izvedemo naslednje korake:
- Preverjeno je, če je f neprekinjena funkcija v intervalu.
- Če interval ni dan, je treba najti, kje je funkcija neprekinjena.
- Preverjeno je, če skrajni razmiki dajejo nasprotne znake, ko jih ocenimo v f.
- Če nasprotni znaki niso dobljeni, je treba interval razdeliti na dva pod intervala s srednjo točko.
- Ocenite funkcijo na sredini in preverite, ali je izpolnjena hipoteza Bolzano, kjer je f (a) * f (b) <0.
- Odvisno od znaka (pozitivnega ali negativnega) najdene vrednosti se postopek ponavlja z novim podintervalom, dokler ni izpolnjena prej omenjena hipoteza.
Rešene vaje
Vaja 1
Ugotovite, ali ima funkcija f (x) = x 2 - 2 v intervalu vsaj eno resnično rešitev.
Rešitev
Imamo funkcijo f (x) = x 2 - 2. Ker je polinom, to pomeni, da je neprekinjen v katerem koli intervalu.
Prosimo, da ugotovimo, ali ima resnično rešitev v intervalu, tako da je zdaj treba le zamenjati konce intervala v funkciji, da bi vedeli znak teh in vedeli, ali izpolnjujejo pogoj, da je drugačen:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negativno)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (pozitivno)
Zato je znak f (1) ≠ znak f (2).
To zagotavlja, da obstaja vsaj ena točka "c", ki pripada intervalu, v katerem je f (c) = 0.
V tem primeru je vrednost "c" enostavno izračunati na naslednji način:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Tako √2 ≈ 1,4 pripada intervalu in izpolnjuje, da je f (√2) = 0.
Vaja 2
Pokažite, da ima enačba x 5 + x + 1 = 0 vsaj eno resnično rešitev.
Rešitev
Naj najprej upoštevamo, da je f (x) = x 5 + x + 1 polinomna funkcija, kar pomeni, da je neprekinjena pri vseh realnih številkah.
V tem primeru ni podanih intervalov, zato morate za oceno funkcije in iskanje znakov spremeniti vrednosti intuitivno, po možnosti blizu 0.
Če uporabljate interval, morate:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Ker ni znakov sprememb, se postopek ponovi z drugim intervalom.
Če uporabljate interval, morate:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
V tem intervalu je sprememba znaka: znak f (-1) ≠ znak f (0), kar pomeni, da ima funkcija f (x) = x 5 + x + 1 vsaj en pravi koren «c» v intervalu, tako da je f (c) = 0. Z drugimi besedami, drži, da ima x 5 + x + 1 = 0 v razmiku resnično rešitev.
Reference
- Bronshtein I, SK (1988). Priročnik matematike za inženirje in študente. . Uredništvo MIR.
- George, A. (1994). Matematika in um. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Matematična analiza. V treh zvezkih. .
- Jesús Gómez, FG (2003). Učitelji srednješolske vzgoje. Zvezek II. MAD.
- Mateos, ML (2013). Osnovne lastnosti analize v R. Editores, 20. dec.
- Piskunov, N. (1980). Diferencialno in integralno računanje. .
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematika za ekonomsko analizo. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (drugi). Nenehna simetrija: Od Euklida do Kleina. Ameriški matematični soc.