TEORIJA MNOŽIC: ZNAČILNOSTI, ELEMENTI, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Teorija set je veja matematične logike-, ki je odgovorna za proučevanje odnosov med subjekti, imenovanimi sklopov. Za komplete je značilno, da so zbirke predmetov iste narave. Omenjeni predmeti so elementi niza in so lahko: številke, črke, geometrijske figure, besede, ki predstavljajo predmete, sami predmeti in drugi.

Konec 19. stoletja je Georg Cantor predlagal teorijo množic. Medtem ko so se drugi pomembni matematiki v 20. stoletju formalizirali: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel in drugi.

Slika 1. Vennov diagram množic A, B in njihovo presečišče A⋂ B. (lastna izdelava).

Vennovi diagrami so grafični način predstavljanja niza in je sestavljen iz zaprtega ravninskega lika, znotraj katerega so elementi niza.

Na sliki 1 sta na primer prikazana dva niza A in B, ki imata skupne elemente, skupna elementoma A in B. Ti tvorijo nov niz, imenovan presečitveni sklop A in B, ki je zapisan v obliki simbolično:

A ∩ B

značilnosti

Niz je primitiven koncept, saj je v geometriji koncept točke, črte ali ravnine. Ni boljšega načina za izražanje koncepta kot navajanje primerov:

Set E, oblikovan z barvami zastave Španije. Ta način izražanja množice imenujemo razumevanje. Enak sklop E, ki ga pišete z razširitvijo, je:

E = {rdeča, rumena}

V tem primeru sta rdeča in rumena elementa niza E. Treba je opozoriti, da so elementi navedeni v naramnicah in se ne ponavljajo. V primeru španske zastave so tri barvne črte (rdeča, rumena, rdeča), od katerih sta dva ponovljena, vendar se elementi ne ponovijo, ko je izražena celota.

Predpostavimo, da je množica V, sestavljena iz prvih treh samoglasnih črk:

V = {a, e, i}

Nabor moči V, označen s P (V), je množica vseh nizov, ki jih lahko tvorimo z elementi V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Vrste kompletov

Končni niz

Gre za niz, v katerem so njegovi elementi števni. Primeri končnih nizov so črke španske abecede, španski samoglasniki, planeti Osončja. Število elementov v končnem nizu se imenuje njegova kardinalnost.

Neskončen niz

Za neskončno množico se šteje, da je število njegovih elementov nešteto, saj ne glede na to, kako veliko je število njegovih elementov, je vedno mogoče najti več elementov.

Primer neskončnega niza je množica naravnih števil N, ki je v obsežni obliki izražena na naslednji način:

N = {1, 2, 3, 4, 5 … Jasno je, da je kardinalnost neskončnega niza ∞.

Prazen komplet

Je niz, ki ne vsebuje nobenega elementa. Prazen niz V je označen z Ø ali parom tipk brez elementov v notranjosti:

V = {} = Ø.

Prazen niz je edinstven, zato mora biti napačno reči "prazen niz", pravilna oblika je, da rečemo "prazen niz".

Med lastnostmi praznega niza imamo, da gre za podmnožico katerega koli niza:

Ø ⊂ A

Poleg tega, če je niz podmnožica praznega niza, potem bo nujno omenjeni niz vakuum:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Enota

Niz enot je kateri koli niz, ki vsebuje en element. Na primer, nabor naravnih satelitov Zemlje je enoten niz, katerega edini element je Luna. Množica B celih števil, manjših od 2 in večja od nič, ima samo element 1, torej je enota.

Binarni niz

Niz je binarni, če ima samo dva elementa. Na primer niz X, tako da je x resnična številčna rešitev x ^ 2 = 2. Ta niz z razširitvijo je napisan tako:

X = {-2, + √2}

Univerzalni komplet

Univerzalni komplet je niz, ki vsebuje druge sklope iste vrste ali narave. Univerzalni niz naravnih števil je na primer množica resničnih števil. Toda resnična števila so univerzalni niz tudi celih števil in racionalnih števil.

Ključni predmeti

- Razmerja med sklopi

V sklopih se med njimi in njihovimi elementi lahko vzpostavijo različne vrste odnosov. Če imata dva niza A in B popolnoma enaka elementa med njima, se vzpostavi razmerje enakosti, ki ga označimo na naslednji način:

A = B

Če vsi elementi niza A pripadajo množici B, vendar vsi elementi B ne pripadajo A, potem med temi množicami obstaja povezava, ki je označena tako:

A ⊂ B, vendar B ⊄ A

Zgornji izraz se glasi: A je podvrsto B, vendar B ni podvrsta A.

Za označitev, da nekateri elementi ali elementi pripadajo nizu, se uporablja simbol članstva ∈, na primer, da x element ali elementi pripadajo množici A, je zapisano simbolično takole:

x ∈ A

Če element ne spada v množico A, je to razmerje zapisano takole:

in ∉ A

Razmerje članstva se zgodi med elementi niza in množice, z izjemo izbrane moči, pri čemer je množica moči zbirka ali množica vseh možnih nizov, ki jih je mogoče tvoriti z elementi omenjenega niza.

Predpostavimo, da je V = {a, e, i}, njegova moč je P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, v tem primeru niz V postane element množice P (V) in ga lahko zapišemo:

V ∈ P (V)

- Lastnosti vključitve

Prva lastnost vključevanja določa, da je vsak niz vsebovan v sebi ali povedano drugače, da je podvrsta samega sebe:

A ⊂ A

Druga lastnost vključitve je tranzitivnost: če je A podmnožica B in B posledično podvrsto C, potem je A podvrsto C. V simbolni obliki je tranzicijsko razmerje zapisano na naslednji način:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Spodaj je Vennov diagram, ki ustreza prehodnosti vključitve:

Slika 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operacije med množicami

Križišče

Presečišče je operacija med dvema sklopoma, ki povzroči novo množico, ki pripada isti univerzalni množici kot prva dva. V tem smislu gre za zaprto operacijo.

Simbolično je križišče oblikovano takole:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Primer je naslednji: niz A črk v besedi "elementi" in niz B črk besede "ponovljeno", presečišče med A in B je napisano tako:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Univerzalni niz U, A, B in tudi A⋂B je niz črk španske abecede.

Zveza

Združitev dveh nizov je množica, sestavljena iz elementov, skupnih obema sklopom, in nenavadnih elementov obeh sklopov. Delovanje zveze med množicami je izraženo simbolično takole:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Razlika

Razlika delovanja množice A minus B je označena z AB. AB je nov niz, sestavljen iz vseh elementov, ki so v A in ne pripadajo B. Simbolično je napisan tako:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Slika 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Simetrična razlika

Simetrična razlika je operacija med dvema nizoma, kjer dobljeni niz sestavljajo elementi, ki niso skupni obema nizoma. Simetrična razlika je simbolično predstavljena tako:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Primeri

Primer 1

Vennov diagram je grafični način predstavljanja množic. Na primer, nabor črk C v besednem nizu je predstavljen tako:

Primer 2

Spodaj z diagrami Venn je prikazano, da je niz samoglasnikov v besedi "set" podvrsta nabora črk v besedi "set".

Primer 3

Sklop Ñ črk španske abecede je končna množica, ta sklop z razširitvijo je napisal takole:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} in njegova kardinalnost je 27.

Primer 4

Množica V samoglasnikov v španščini je podvrsta množice Ñ:

V ⊂ Ñ ​​je torej končna množica.

Končni niz V v obsežni obliki piše takole: V = {a, e, i, o, u} in njegova kardinalnost je 5.

Primer 5

Glede na množice A = {2, 4, 6, 8} in B = {1, 2, 4, 7, 9}, določite AB in BA.

A - B so elementi A, ki niso v B:

A - B = {6, 8}

B - A so elementi B, ki niso v A:

B - A = {1, 7, 9}

Rešene vaje

Vaja 1

Vpišite v simbolično obliko in tudi podaljšajte množico P iz naravnih števil manj kot 10.

Rešitev: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Vaja 2

Predpostavimo, da je množica A, ki je sestavljena iz naravnih števil, ki so faktorji 210, in množica B, ki je tvorjena s primarnimi naravnimi števili, manjšimi od 9. Določite tako, da oba niza določite in določite razmerje med obema množicama.

Rešitev: Za določitev elementov množice A moramo začeti z iskanjem faktorjev naravnega števila 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Nato se zapiše niz A:

A = {2, 3, 5, 7}

Zdaj menimo, da množica B, ki je primej manj kot 9. 1 ni primeren, ker ne ustreza definiciji primera: "število je enostavno, če in samo, če ima natančno dva delitelja, 1 in samo število." 2 je enakomeren in hkrati primeren, ker ustreza definiciji primera, drugi primesi manjši od 9 so 3, 5 in 7. Torej je množica B:

B = {2, 3, 5, 7}

Zato sta dva niza enaka: A = B.

Vaja 3

Določite niz, katerega elementi se razlikujejo od x.

Rešitev: C = {x / x ≠ x}

Ker je vsak element, število ali predmet enak samemu sebi, množica C ne more biti nič drugega kot prazen niz:

C = Ø

Vaja 4

Naj bo množica N naravnih števil in Z množica celih števil. Določite N ⋂ Z in N ∪ Z.

Rešitev:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, ker je N ⊂ Z.

Reference

1. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne enačbe: kako rešiti kvadratno enačbo. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, Paul, RS (2003). Matematika za management in ekonomijo. Pearsonova vzgoja.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
4. Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Uredništvo Progreso.
5. Matematika 10 (2018). "Primeri končnih nizov". Pridobljeno: matematicas10.net
6. Wikipedija. Teorija množic. Pridobljeno: es.wikipedia.com