Riemannova vsota je ime za približen izračun za določen integral, s pomočjo diskretne seštevku s končnim številom izrazov. Običajna aplikacija je približevanje območja funkcij na grafu.
Natančno opredelitev integral neke funkcije v določenem intervalu je prvi ponudil nemški matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). To je povedal v članku, objavljenem leta 1854.
Slika 1. Riemannova vsota je določena na funkciji f in na particiji v intervalu. Vir: Fanny Zapata.
Riemannova vsota je določena na funkciji y = f (x), pri čemer x pripada zaprtemu intervalu. V tem intervalu se naredi particija P iz n elementov:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
To pomeni, da je interval razdeljen na naslednji način:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
Slika 1 grafično prikazuje Riemannovo vsoto funkcije f v intervalu na razdelku štirih podintervalov, sivih pravokotnikov.
Vsota predstavlja skupno površino pravokotnikov, rezultat te vsote pa numerično približa območju pod krivuljo f, med absciso x = x 0 in x = x 4 .
Seveda se približevanje območju pod krivuljo močno izboljša, saj je število n predelnih sten večje. Na ta način se vsota konvergira na območje pod krivuljo, ko se število n particij nagiba v neskončnost.
Formule in lastnosti
Riemannova vsota funkcije f (x) na particiji:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Določen v intervalu ga poda:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Kjer je t k vrednost v intervalu. V Riemannovi vsoti se običajno uporabljajo pravilni intervali širine Δx = (b - a) / n, kjer sta a in b najmanjši in največji vrednosti absces, medtem ko je n število pododdelkov.
V tem primeru je pravi Riemannov vsota:
Sd (f, n) = * Δx
Slika 2. Riemannova desna vsota. Vir: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Medtem ko je Riemannova leva vsota izražena kot:
Če je (f, n) = * Δx
Slika 3. Leva Riemannova vsota. Vir: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Končno je osrednja Riemannova vsota:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Slika 4. Vmesna Riemannova vsota. Vir: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Glede na to, kje v intervalu se nahaja točka t k , lahko Riemannova vsota preceni ali podceni natančno vrednost območja pod krivuljo funkcije y = f (x). Z drugimi besedami, lahko pravokotniki štrlijo iz krivulje ali so rahlo pod njo.
Območje pod krivuljo
Glavna lastnost Riemannove vsote in iz katere izhaja njen pomen, je, da če se število pododdelkov nagiba v neskončnost, se rezultat vsote zbliža v točno določen integral funkcije:
Rešene vaje
- Vaja 1
Izračunajte vrednost določenega integral med a = -2 do b = +2 funkcije:
f (x) = x 2
Izkoristite Riemannovo vsoto. Če želite to narediti, najprej poiščite vsoto za n rednih particij intervala in nato vzemite matematično mejo za primer, da se število particij teži v neskončnost.
Rešitev
To so naslednji koraki:
- Najprej je interval particij opredeljen kot:
Δx = (b - a) / n
-Potem je vsota Riemanna na desni, ki ustreza funkciji f (x), videti takole:
-In nato je previdno nadomeščen v seštevku:
-Naslednji korak je ločitev seštevkov in jemanje konstantnih količin kot skupni faktor vsake vsote. Upoštevati je treba, da je indeks i, zato se števila in izrazi z n štejejo za konstantne:
-Vsaka vsota se ocenjuje, saj za vsakega od njih obstajajo ustrezni izrazi. Na primer, prvi od vsot daje n:
-Na koncu je treba izračunati integral:
Bralec lahko preveri, ali je to natančen rezultat, ki ga lahko dosežemo z reševanjem nedoločenega integralnega in ocenjevanjem meja integracije po Barrowovem pravilu.
- Vaja 2
Približno določite območje pod funkcijo:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-x 2 /2)
Vnesite x = -1 in x = + 1 z uporabo osrednje Riemannove vsote z 10 particijami. Primerjajte z natančnim rezultatom in ocenite odstotno razliko.
Rešitev
Korak ali prirastek med dvema zaporednima diskretnima vrednostoma je:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Torej je particija P, na kateri so opredeljeni pravokotniki, videti takole:
P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}
Ker pa je osrednja vsota tisto, kar se želi, bo funkcija f (x) ovrednotena v srednjih točkah podintervalov, torej v množici:
T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.
(Osrednja) Riemannova vsota izgleda tako:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Ker je funkcija f simetrična, je možno vsoto zmanjšati na samo 5 izrazov in rezultat pomnožiti z dvema:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Funkcija v tem primeru ni nič drugega kot dobro znani Gaussov zvonec (normaliziran, s srednjo vrednostjo enak nič in standardnim odklonom ena). Znano je, da je območje pod krivuljo v intervalu za to funkcijo 0,6827.
Slika 5. Območje pod Gaussovim zvonom, ki ga približa Riemannova vsota. Vir: F. Zapata.
To pomeni, da se približna rešitev s samo 10 izrazi ujema z natančno rešitev na tri decimalna mesta. Odstotna napaka med približnim in natančnim integralom je 0,07%.
Reference
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integralno računanje (Ilustrirano izd.). Madrid: Uredništvo ESIC.
- Unicansko. Zgodovina koncepta integral. Pridobljeno: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann povzame. Pridobljeno: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedija. Riemannova vsota. Pridobljeno: es.wikipedia.com
- Wikipedija. Riemannova integracija. Pridobljeno: es.wikipedia.com