KVADRATNA ZAPOREDJA: PRIMERI, PRAVILA IN REŠENE VAJE - MATEMATIKA - 2026

V Kvadratne sukcesije , v matematičnih pojmov, sestavljen iz zaporedja številk, ki sledijo določeno pravilo aritmetično. To pravilo je zanimivo za določitev katerega koli pogoja zaporedja.

Eden od načinov za to je ugotoviti razliko med dvema zaporednima izrazoma in preveriti, ali se dobljena vrednost vedno ponovi. V tem primeru se pravi, da gre za redno zaporedje.

Številčna zaporedja so način organiziranja zaporedij števil. Vir: pixabay.com

Če pa se ne ponovi, lahko poskusite raziskati razliko med razlikami in preverite, ali je ta vrednost konstantna. Če je tako, potem je to kvadratno zaporedje .

Primeri pravilnih zaporedja in kvadratnih zaporedij

Naslednji primeri pomagajo razjasniti, kaj je bilo doslej razloženo:

Primer rednega nasledstva

Naj zaporedje S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

To zaporedje, označeno s S, je neskončno število števil, v tem primeru celih števil.

Vidimo, da gre za redno zaporedje, saj vsak izraz dobimo tako, da prejšnjem izrazu ali elementu dodamo 3:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Z drugimi besedami: to zaporedje je redno, ker razlika med naslednjim izrazom in prejšnjim daje fiksno vrednost. V primeru je ta vrednost 3.

Navadna zaporedja, ki jih dobimo z dodajanjem fiksne količine prejšnjem izrazu, imenujemo tudi aritmetične progresije. In razlika - konstantna - med zaporednimi izrazi se imenuje razmerje in je označena kot R.

Primer nerednega in kvadratnega zaporedja

Glej zdaj naslednje zaporedje:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Ko se izračunajo zaporedne razlike, dobimo naslednje vrednosti:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Njihove razlike niso konstantne, zato lahko rečemo, da gre za NAVOČNO zaporedje.

Če pa upoštevamo nabor razlik, imamo še eno zaporedje, ki ga bomo označili kot S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

To novo zaporedje je res redno zaporedje, saj vsak izraz dobimo tako, da prejšnjem dodamo fiksno vrednost R = 2. Zato lahko trdimo, da je S kvadratno zaporedje.

Splošno pravilo za gradnjo kvadratnega zaporedja

Obstaja splošna formula za sestavljanje kvadratnega zaporedja:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

V tej formuli je T _n izraz na položaju n zaporedja. A, B in C so fiksne vrednosti, medtem ko se n spreminja ena za drugo, to je 1, 2, 3, 4, …

V zaporedju S prejšnjega primera A = 1, B = 1 in C = 0. Od tod sledi, da je formula, ki ustvarja vse izraze: T _n = n ² + n

Se pravi:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Razlika med dvema zaporednima izrazoma kvadratnega zaporedja

T _{n + 1} - T _n = -

Razvoj izraza s pomočjo izjemnega izdelka ostaja:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

S poenostavitvijo dobite:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

To je formula, ki daje zaporedje razlik S _Dif, ki ga lahko zapišemo takole:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Če je jasno, je naslednji izraz 2 ∙ Včasih prejšnji. To pomeni, da je razmerje med zaporedjem razlike S _diff je: R = 2 ∙ A.

Rešeni problemi kvadratnih zaporedij

Vaja 1

Naj zaporedje S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Ugotovite, ali:

i) Ali je redna ali ne

ii) Ali je kvadratna ali ne

iii) Bilo je kvadratno, zaporedje razlik in njihovo razmerje

Odgovori

i) Izračunajmo razliko med naslednjimi in prejšnjimi izrazi:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Lahko trdimo, da zaporedje S ni redno, ker razlika med zaporednimi izrazi ni konstantna.

ii) Zaporedje razlik je redno, ker je razlika med njegovimi izrazi konstantna vrednost 2. Zato je prvotno zaporedje S kvadratno.

iii) Ugotovili smo že, da je S kvadratni, zaporedje razlik je:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} in njegovo razmerje je R = 2.

Vaja 2

Naj bo zaporedje S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} iz prejšnjega primera, kjer je bilo preverjeno, da je kvadratno. Določi:

i) Formula, ki določa splošni izraz T _n.

ii) Preverite tretji in peti izraz.

iii) Vrednost desetega mandata.

Odgovori

i) Splošna formula T _n je A ∙ n ² + B ∙ n + C. Nato je treba vedeti vrednosti A, B in C.

Zaporedje razlik ima razmerje 2. Poleg tega je za katero koli kvadratno zaporedje razmerje R 2 ∙ A, kot je prikazano v prejšnjih razdelkih.

R = 2 ∙ A = 2, zaradi česar je mogoče sklepati, da je A = 1.

Prvi izraz zaporedja razlik S _Dif je 2 in mora izpolnjevati A ∙ (2n + 1) + B, z n = 1 in A = 1, to je:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

reševanje za B dobimo: B = -1

Potem je prvi izraz S (n = 1) vreden 1, to je: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Kot že vemo, da sta A = 1 in B = -1, nadomestimo:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Rešimo za C, dobimo njegovo vrednost: C = 1.

V povzetku:

A = 1, B = -1 in C = 1

Potem bo n-ti izraz T _n = n ² - n + 1

ii) Tretji izraz T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 in je preverjen. Peti T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, ki je tudi preverjen.

iii) Deseti izraz bo T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Vaja 3

Zaporedje področij vaje 3. Vir: lastna izdelava.

Slika prikazuje zaporedje petih figur. Rešetka predstavlja enoto dolžine.

i) Določite zaporedje za območje figur.

ii) Pokažite, da gre za kvadratno zaporedje.

iii) Poiščite območje slike # 10 (ni prikazano).

Odgovori

i) Zaporedje S, ki ustreza območju zaporedja številk, je:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) Zaporedje, ki ustreza zaporednim razlikam izrazov S, je:

S _razli = {2, 4, 6, 8,. . . . . }

Ker razlika med zaporednimi izrazi ni stalna, potem S ni redno zaporedje. Še vedno moramo vedeti, ali je kvadratna, za katero spet naredimo zaporedje razlik, pri čemer dobimo:

{2, 2, 2, …….}

Ker se vsi izrazi zaporedja ponavljajo, je potrjeno, da je S kvadratno zaporedje.

iii) Zaporedje S _dif je redno in njegovo razmerje R je 2. Z enačbo, prikazano zgoraj R = 2 ∙ A, ostane:

2 = 2 ∙ A, kar pomeni, da je A = 1.

Drugi izraz zaporedja razlik S _Dif je 4 in n. Izraz S _Dif je

A ∙ (2n + 1) + B.

Drugi izraz ima n = 2. Poleg tega je bilo že ugotovljeno, da je A = 1, zato s prejšnjo enačbo in nadomeščanjem imamo:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Rešimo za B, dobimo: B = -1.

Znano je, da je drugi izraz S vreden 2 in da mora izpolniti formulo splošnega izraza z n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

To pomeni

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Ugotovimo, da je C = 0, to pomeni, da je formula, ki daje splošni izraz zaporedja S, naslednja:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Zdaj je preverjen peti mandat:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Slika # 10, ki tukaj ni bila narisana, bo imela površino, ki ustreza desetemu izrazu zaporedja S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Reference

1. https://www.geogebra.org