Vsota teleskopska je podružnica operacije številčna serija. Ukvarja se s seštevanjem elementov od začetne vrednosti do „n“ izrazov, katerih argument je v skladu s katerim koli od naslednjih vzorcev:
(F x - F x + 1 ); (F x + 1 - F x )
Kot tudi:
Vir: Pixabay.com
Predstavljajo seštevek elementov, ki se pri razvoju razvijejo preklici nasprotnih izrazov. Omogočanje določitve naslednje enakosti za teleskopske vsote:
Ime je povezano s pojavom klasičnega teleskopa, ki ga je mogoče zložiti in razviti, predvsem pa spremeniti svojo dimenzijo. Na enak način je mogoče poenostaviti teleskopske vsote, ki so neskončne narave:
F 1 - F n + 1
Demonstracija
Pri razvoju seštevanja izrazov je odprava dejavnikov precej očitna. Če se za vsak od primerov v naslednji ponovitvi pojavijo nasprotni elementi.
Kot primer bo uporabljen prvi primer (F x - F x + 1 ), ker postopek deluje na homologen način za (F x + 1 –F x ).
Z razvojem prvih treh vrednosti {1, 2, 3} opazimo trend poenostavitve
X 1 (F 1 - F 1 + 1 ) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1 ) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1 ) = F 3 - F 4
Kje pri izražanju vsote opisanih elementov:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
Opažamo, da sta izraza F 2 in F 3 opisana skupaj s svojimi nasprotji, zaradi česar je njihova poenostavitev neizogibna. Na enak način je opaziti, da se izraza F 1 in F 4 ohranjata.
Če smo vsoto naredili od x = 1 do x = 3, to pomeni, da element F 4 ustreza splošnemu izrazu F n + 1.
Tako prikazuje enakost:
Kako se rešuje?
Namen teleskopskih povzetkov je olajšati delo, tako da ni treba razviti neskončnega števila izrazov ali poenostaviti neke verige dodatkov, ki je predolga.
Za njegovo reševanje bo treba le ovrednotiti izraza F 1 in F n + 1 . Te preproste zamenjave tvorijo končni rezultat seštevanja.
Celotna izraza ne bo izražena, saj bo to potrebno le za prikaz rezultata, ne pa tudi za običajni postopek izračuna.
Pomembno je opaziti konvergenco številskih nizov. Včasih argument seštevanja ne bo izražen teleskopsko. V teh primerih je izvajanje alternativnih metod faktoringa zelo pogosto.
Značilna metoda faktorizacije v teleskopskih dodatkih je metoda preprostih frakcij. To se zgodi, ko se originalna frakcija razgradi na vsoto več ulomkov, kjer lahko opazimo teleskopski vzorec (F x - F x + 1 ) ali (F x + 1 - F x ).
Razpad v preproste frakcije
Da bi preverili konvergenco numeričnih serij, je zelo pogosto preoblikovanje racionalnih izrazov z enostavno metodo frakcije. Cilj je prikazati ploskev v obliki teleskopskega seštevanja.
Naslednja enakost na primer predstavlja razgradnjo na enostavne ulomke:
Pri razvijanju številskih nizov in uporabi ustreznih lastnosti je izraz v naslednji obliki:
Kjer je teleskopska oblika cenjena (F x - F x + 1 ).
Postopek je precej intuitiven in je sestavljen iz iskanja vrednosti števca, ki brez kršenja enakosti omogočajo ločevanje izdelkov, ki so v imenovalcu. Enačbe, ki nastanejo pri določanju teh vrednosti, so postavljene v skladu s primerjavami obeh strani enakosti.
Ta postopek upoštevamo korak za korakom pri razvoju vaje 2.
Zgodovina
Precej negotovo je mogoče opredeliti zgodovinski trenutek, v katerem so bili predstavljeni teleskopski seštevki. Vendar pa se njegova izvedba začne kazati v sedemnajstem stoletju v študijah numeričnih serij, ki sta jih opravila Leibniz in Huygens.
Oba matematika, ki raziskujeta vsote trikotnih števil, začneta opažati trende v konvergenci nekaterih nizov zaporednih elementov. Še bolj zanimiv pa je začetek modeliranja teh izrazov v elementih, ki nujno ne sledijo drug drugemu.
Pravzaprav je izraz, ki je bil prej uporabljen za navajanje preprostih ulomkov:
Predstavil jo je Huygens in takoj pritegnil pozornost Leibniz. Kdo je sčasoma lahko opazoval konvergenco do vrednosti 2. Ne da bi vedel, je izvedel teleskopski format seštevanja.
Vaje
Vaja 1
Določite, za kateri izraz se konvertira naslednja vsota:
Pri ročnem razvijanju vsote upoštevamo naslednji vzorec:
(2 3 - 2 4 ) + (2 4 - 2 5 ) + (2 5 - 2 6 ). . . . (2 10 - 2 11 )
Kje dejavniki iz 2 4 do 2 10 sedanjih pozitivnih in negativnih delov, zaradi česar je njihova odpoved očitna. Potem bosta edina dejavnika, ki ju ne bosta poenostavili, prva „2 3 “ in zadnja „2 11 “.
Na ta način pri izvajanju merila teleskopskega seštevanja dobimo naslednje:
Vaja 2
Argument pretvorite v teleskopsko vsoto vrste in določite konvergenco niza:
Kot je navedeno v izjavi, je treba najprej razgraditi na preproste ulomke, da se argument ponovno naredi in na teleskopski način izrazi.
Najti morate dva uloma, katerih imenovalca sta "n" in "n + 1", pri čemer mora spodaj uporabljena metoda pridobiti vrednosti števca, ki ustrezata enakosti.
Nadaljujemo z definiranjem vrednosti A in B. Najprej dodamo ulomke.
Nato poimenovalce poenostavimo in določimo linearno enačbo.
V naslednjem koraku deluje izraz na desni, dokler ne dobimo vzorca, primerljivega s "3" na levi strani.
Za določitev uporabljenih enačb je treba primerjati rezultate obeh strani enakosti. Z drugimi besedami, na levi strani ni opaziti nobene vrednosti spremenljivke n, na ta način bo A + B treba biti enak nič.
A + B = 0; A = -B
Po drugi strani pa bo konstantna vrednost A morala biti enaka konstantni vrednosti 3.
A = 3
Tako.
A = 3 in B = -3
Ko so vrednosti števcev za enostavne ulomke že definirane, seštevek ponovno zažene.
Kjer je že dosežena generična oblika teleskopskega seštevanja. Razvita je teleskopska serija.
Kjer se delimo z zelo velikim številom, se rezultat približa ničli in opazimo zbliževanje niza s vrednostjo 3.
Zaradi neskončnega števila iteracij, ki definirajo težavo, te vrste serij ni bilo mogoče rešiti na noben drug način. Vendar ta metoda skupaj z mnogimi drugimi uokvirja vejo preučevanja numeričnih serij, katere cilj je določiti konvergenčne vrednosti ali določiti razhajanje omenjenih serij.
Reference
- Lekcije za neskončno majhno računanje. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
- Celostni račun: zaporedja in vrste funkcij. Antonio Rivera Figueroa. Grupo uredništvo Patria, 21. okt. 2014
- Tečaj računanja in realne analize. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. junij. 2006
- Neskončna serija. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
- Elementi teorije neskončnih procesov. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.