OSREDNJA SIMETRIJA: LASTNOSTI, PRIMERI IN VAJE - MATEMATIKA - 2026

Dve točki A in A imata osrednjo simetrijo glede na točko O, ko odsek AA 'prehaja skozi njo in je tudi sredina točke AA'. Točko O imenujemo središče simetrije.

Osrednja simetričnost trikotnika ABC glede na točko O je drug trikotnik A'B'C ', ki ima naslednje značilnosti:

-Homologni segmenti so enake dolžine

- Njihovi ustrezni koti imajo isto mero.

Slika 1. Trikotnik ABC in njegov simetrični A'B'C '. Vir: F. Zapata.

Slika 1 prikazuje trikotnik ABC (rdeča) in njegovo osrednjo simetrijo A'B'C '(zelena) glede na sredino simetrije O.

Na tej isti sliki bi pozoren opazovalec ugotovil, da enak rezultat dobimo z vrtenjem prvotnega trikotnika, dokler je 180 ° in je osredotočen na O.

Zato je osrednja simetrija enaka 180 ° zasuku glede na sredino simetrije.

Lastnosti centralne simetrije

Osrednja simetrija ima naslednje lastnosti:

-Središče simetrije je sredina segmenta, ki se pridruži točki s svojo simetrijo.

-Simetrična točka drugega, ki se nahaja v središču simetrije, sovpada s središčem simetrije.

-Srednji simetric trikotnika je skladen trikotnik (enak) izvirniku.

-Slika po osrednji simetriji kroga je še en krog enakega polmera.

-Okrog ima osrednjo simetrijo glede na svoje središče.

Slika 2. Zasnova s ​​centralno simetrijo. Vir: Pixabay.

-Elipsa ima osrednjo simetrijo glede na njeno sredino.

-Odsek ima osrednjo simetrijo glede na svojo sredino.

-Rednostrani trikotnik nima osrednje simetrije glede na njegovo sredino, ker njegova simetrija, čeprav je skladna s prvim, daje zasučen enakostranični trikotnik.

-Kvadrati imajo osrednjo simetrijo glede na njihovo sredino.

-Pentagon nima središčne simetrije glede na njegovo središče.

-Redni poligoni imajo osrednjo simetrijo, ko imajo enakomerno število strani.

Primeri

Kriteriji simetrije imajo v znanosti in inženiringu številne aplikacije. Centralna simetrija je prisotna v naravi, na primer ledeni kristali in pajčevine imajo tovrstno simetrijo.

Poleg tega je veliko težav enostavno rešiti, če izkoristimo obstoj centralne simetrije in drugih vrst simetrije. Zato je priročno hitro prepoznati, kdaj se pojavi.

Slika 3. Ledeni kristali imajo osrednjo simetrijo. Vir: Pixabay.

Primer 1

Glede na točko P koordinat (a, b) moramo najti koordinate njegovega simetričnega P 'glede na izvor O koordinat (0, 0).

Prva stvar je konstrukcija točke P ', za katero je narisana črta, ki poteka skozi izhod O in skozi točko P. Enačba te premice je y = (b / a) x.

Zdaj pokličimo (a ', b') koordinate simetrične točke P '. Točka P 'mora ležati na premici, ki gre skozi O, zato je res: b' = (b / a) a '. Poleg tega mora biti razdalja OP enaka OP ", kar v analitični obliki piše takole:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Naslednje je, da nadomestimo b '= v prejšnjem izrazu in obe strani enačimo z enakostjo, da odstranimo koren kvadrat: (a ² + b ² ) =

Z ekstrahiranjem skupnega faktorja in poenostavitvijo dobimo, da je a ' ² = a ² . Ta enačba ima dve resnični rešitvi: a '= + a ali a' = -a.

Da dobimo b ', ponovno uporabimo b' = (b / a) a '. Če je pozitivna rešitev 'nadomeščena, pridemo do tega b' = b. In ko se negativna raztopina nadomesti, potem je b '= -b.

Pozitivna rešitev daje za P 'isto točko P, zato jo zavržemo. Negativna rešitev vsekakor daje koordinate simetrične točke:

P ': (-a, -b)

Primer 2

Dokazati je treba, da ima odsek AB in njegov osrednji simetrični A'B 'enako dolžino.

Začenši s koordinatami točke A, ki so (Ax, Ay), in točkami B: (Bx, By), je dolžina odseka AB dana z:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

Po analogiji bo simetrični segment A'B 'dolžino dobil:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (Z' - Ay ') ² )

Koordinate simetrične točke A 'so Ax' = -Ax in Ay '= -Ay. Podobno sta B 'Bx' = -Bx in By '= -By. Če so te koordinate nadomeščene v enačbi razdalje d (A'B '), imamo:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ), kar je enako:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Tako je razvidno, da imata oba segmenta enako dolžino.

Rešene vaje

- Vaja 1

Pokažite analitično, da sta osrednji simetrični O kroga polmera R in središče O isti prvotni krog.

Rešitev

Enačba kroga s polmerom R in središčem O (0,0) je:

x ² + y ² = R ² (enačba oboda C)

Če je v vsaki točki P oboda y koordinat (x, y) njen simetrični P 'koordinat (x', y '), je enačba simetričnega oboda:

x ' ² + y' ² = R ² (enačba simetričnega kroga C ')

Zdaj se sklicujemo na rezultat primera 1, v katerem sklepamo, da so koordinate točke P ', simetrične P in s koordinatami (a, b), (-a, -b).

Toda v tej vaji ima točka P koordinate (x, y), zato bo imel njen simetrični P 'koordinate x' = -xe y '= -y. Če to nadomestimo v enačbi simetričnega kroga, imamo:

(X) ² + (-y) ² = R ²

Kar je enako: x ² + y ² = R ² , pri čemer sklepamo, da je osrednja simetričnost kroga glede na njegovo središče krog sama.

- Vaja 2

Pokažite v geometrijski obliki, da osrednja simetrija ohranja kote.

Rešitev

Slika 4. Gradnja simetričnih točk za vajo 2. Vir: F. Zapata.

Na ravnini so tri točke A, B in C. Njegove simetrije A ', B' in C 'so zasnovane glede na sredino simetrije O, kot je prikazano na sliki 4.

Zdaj moramo pokazati, da ima kot ∡ABC = β enako mero kot kot ∡A'B'C '= β'.

Ker sta C in C 'simetrična, potem je OC = OC'. Podobno je OB = OB 'in OA = OA'. Po drugi strani je kot ∡BOC = ∡B'OC ', ker jim nasprotuje točko.

Zato sta trikotnika BOC in B'OC 'skladna, ker imata enak kot med dvema enakima stranema.

Ker je BOC skladen z B'OC ', sta kota γ in γ' enaka. Toda ti koti so poleg izpolnjevanja γ = γ 'notranji izmenični premici BC in B'C', kar pomeni, da je črta BC vzporedna z B'C '.

Podobno je BOA skladen z B'OA ', iz česar sledi, da je α = α'. Toda α in α 'sta izmenična notranja kota med črtama BA in B'A', iz česar sklepamo, da je premica BA vzporedna z B'A '.

Ker ima kot ∡ABC = β strani vzporedni s kotom ∡A'B'C '= β' in sta tudi oba akutna, sklepamo, da:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Na ta način se dokaže, da osrednja simetrija ohranja mero kotov.

Reference

1. Baldor, JA 1973. Ravna in vesoljska geometrija. Srednjeameriški kulturni.
2. Matematični zakoni in formule. Sistemi za merjenje kota Pridobljeno: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Pridobljeno: gutenberg.org.
4. Wikipedija. Centralna simetrija. Pridobljeno: es.wikipedia.com
5. Wikipedija. Transportni trak. Pridobljeno: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Povežite notranje in zunanje kote. Pridobljeno: lifeder.com