V vrste integralov , ki jih najdemo v računati so neomejene integrale in določenih integralov. Čeprav imajo določeni integrali veliko več aplikacij kot nedoločeni integrali, se je treba najprej naučiti reševanja nedoločenih integralov.
Ena izmed najbolj privlačnih aplikacij določenih integralov je izračun prostornine revolucijske trdne snovi. Oba tipa integrala imata enake lastnosti linearnosti in tudi tehnike integracije niso odvisne od vrste integrala.
Trd revolucije
Toda kljub temu, da sta si zelo podobna, obstaja ena glavna razlika; v prvi vrsti integral je rezultat funkcija (ki ni specifična), medtem ko je pri drugem tipu rezultat število.
Osnovne vrste integralov
Svet integralov je zelo širok, vendar v njem lahko ločimo dve osnovni vrsti integralov, ki imata veliko uporabnost v vsakdanjem življenju.
1- Neomejeni integrali
Če je F '(x) = f (x) za vse x v domeni f, rečemo, da je F (x) antideriva, primitiv ali integral f (x).
Po drugi strani pa opazimo, da je (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), kar pomeni, da integral funkcije ni edinstven, saj dajemo različni vrednosti konstanti C, dobimo različne antideriva.
Zaradi tega se F (x) + C imenuje neomejena integrala f (x), C pa stalnica integracije in jo zapišemo na naslednji način
Neomejeno integralno
Kot lahko vidimo, je nedoločen integral funkcije f (x) družina funkcij.
Na primer, če želite najti nedoločen integral funkcije f (x) = 3x², morate najprej najti antideriva z f (x).
Zlahka je videti, da je F (x) = x³ antideriva, saj je F '(x) = 3x². Zato je mogoče sklepati, da
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Določeni integrali
Naj je y = f (x) resnična neprekinjena funkcija v zaprtem intervalu in naj bo F (x) antideriva f (x). Določen integral f (x) med mejama a in b se imenuje število F (b) -F (a) in je označen kot sledi
Temeljni izrek računa
Zgoraj prikazana formula je bolj znana kot "Temeljni izrek računa". Tu se "a" imenuje spodnja meja, "b" pa zgornja meja. Kot vidite, je definitivni integral funkcije številka.
V tem primeru, če v intervalu izračunamo določen integral f (x) = 3x², dobimo število.
Za določitev tega števila izberemo F (x) = x³ kot antiderivativa f (x) = 3x². Nato izračunamo F (3) -F (0), kar nam daje rezultat 27-0 = 27. Za zaključek je določeni integral f (x) na intervalu 27.
Opozorimo lahko, da če je izbran G (x) = x³ + 3, potem je G (x) antideriva f (x), različna od F (x), vendar to ne vpliva na rezultat, ker G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Zaradi tega se v določenih integralih ne pojavlja konstanta integracije.
Ena najkoristnejših aplikacij tovrstnega integralja je ta, da nam omogoča izračunati površino (volumen) ravninske figure (trdne trdnosti) in določiti ustrezne funkcije in meje integracije (in vrtenja os).
Znotraj določenih integralov lahko najdemo različne razširitve le-te, kot so linijski integrali, površinski integrali, nepravilni integrali, več integralov, med drugim, vsi z zelo uporabnimi aplikacijami v znanosti in tehniki.
Reference
- Casteleiro, JM (2012). Je enostavna integracija? Priročnik za samostojno učenje. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integralno računanje (Ilustrirano izd.). Madrid: Uredništvo ESIC.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Prekalkulistična matematika. Dvorana Prentice PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: pristop k reševanju problemov (2, Ilustrirana ur.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Celostni račun. Atlantic založniki in distributerji.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Izračun (deveto izd.). Dvorana Prentice.