V Poševna trikotniki so tisti trikotniki, ki niso pravokotniki. Z drugimi besedami, trikotniki so takšni, da noben od njihovih kotov ni pravega kota (njihova mera je 90 °).
Ker nimajo pravega kota, potem Pitagorov izrek ne moremo uporabiti za te trikotnike.
Zato je za poznavanje podatkov v poševnem trikotniku potrebno uporabiti druge formule.
Formule, potrebne za reševanje poševnega trikotnika, so tako imenovani zakoni sinusov in kosinusov, ki bodo opisani kasneje.
Poleg teh zakonov se lahko vedno uporabi dejstvo, da je vsota notranjih kotov trikotnika enaka 180 °.
Poševni trikotniki
Kot je bilo omenjeno na začetku, je poševen trikotnik trikotnik, tako da noben od njegovih kotov ne meri 90 °.
Problem iskanja dolžin stranic poševnega trikotnika, pa tudi iskanje meril njegovih kotov, imenujemo "reševanje poševnih trikotnikov."
Pomembno dejstvo pri delu s trikotniki je, da je vsota treh notranjih kotov trikotnika enaka 180 °. To je splošen rezultat, zato ga je mogoče uporabiti tudi za poševne trikotnike.
Zakoni sinusov in kosinusov
Glede na trikotnik ABC s stranicami dolžine "a", "b" in "c":
- Zakon sinusov pravi, da je a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), kjer so A, B in C nasprotni koti do «a», «b» in «c »Ustrezno.
- Zakon kosinusov pravi, da je: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Enakovredno lahko uporabimo naslednje formule:
b² = a² + c² - 2ac * cos (B) ali a² = b² + c² - 2bc * cos (A).
S pomočjo teh formul je mogoče izračunati podatke za poševni trikotnik.
Vaje
Spodaj je nekaj vaj, kjer je treba najti manjkajoče podatke danih trikotnikov na podlagi določenih posredovanih podatkov.
Prva vaja
Glede na trikotnik ABC, tako da je A = 45º, B = 60º in a = 12cm, izračunajte ostale podatke trikotnika.
Rešitev
S tem je vsota notranjih kotov trikotnika enaka 180º
C = 180º-45º-60º = 75º.
Trije koti so že znani. Za izračun obeh manjkajočih strani se uporablja zakon sinusov.
Enačbe, ki nastanejo, so 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).
Iz prve enakosti lahko rešimo za «b» in to dobimo
b = 12 * sin (60º) / greh (45º) = 6√6 ≈ 14.696 cm.
Rešimo lahko tudi za «c» in to pridobimo
c = 12 * sin (75º) / greh (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392cm.
Druga vaja
Glede na trikotnik ABC, tako da je A = 60º, C = 75º in b = 10cm, izračunajte ostale podatke trikotnika.
Rešitev
Kot v prejšnji vaji je B = 180º-60º-75º = 45º. Poleg tega z uporabo zakona sinusov imamo, da je a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / greh (75º), iz česar je razvidno, da je a = 10 * sin (60º) / greh (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm in c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.
Tretja vaja
Glede na trikotnik ABC, tako da je a = 10cm, b = 15cm in C = 80º, izračunajte ostale podatke trikotnika.
Rešitev
V tej vaji je znan le en kot, zato ga ni mogoče začeti kot v prejšnjih dveh vajah. Prav tako ni mogoče uporabiti zakona sinusov, ker nobene enačbe ni mogoče rešiti.
Zato nadaljujemo z uporabo zakona kosinusov. Takrat je to
c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,
tako da je c ≈ 16,51 cm. Zdaj, ko poznamo tri strani, se uporablja zakon sinusov in dobi se to
10 / greh (A) = 15 / greh (B) = 16,51cm / greh (80º).
Torej, reševanje za B povzroči sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, kar pomeni, da je B ≈ 63,38º.
Zdaj lahko dobimo, da je A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.
Četrta vaja
Strani poševnega trikotnika so a = 5cm, b = 3cm in c = 7cm. Poiščite kote trikotnika.
Rešitev
Tudi zakona sinusov ni mogoče uporabiti neposredno, saj nobena enačba ne bi pridobila vrednosti kotov.
Z uporabo zakona kosinusa imamo, da je c² = a² + b² - 2ab cos (C), iz česar imamo pri reševanju cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 in zato C = 120º.
Zdaj, če lahko uporabimo zakon sinusov in tako dobimo 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / greh (120º), od koder se lahko rešimo za B in dobimo ta greh (B) = 3 * greh (120º) / 7 = 0,371, tako da je B = 21,79º.
Nazadnje se zadnji kot izračuna izračuna tako, da je A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.
Reference
- Landaverde, F. d. (1997). Geometrija (Ponatis izd.). Napredek.
- Leake, D. (2006). Trikotniki (ilustrirano ur.). Heinemann-Raintree
- Pérez, CD (2006). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.
- Ruiz, Á., In Barrantes, H. (2006). Geometrije. CR tehnologija.
- Sullivan, M. (1997). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometrija in analitična geometrija. Pearsonova vzgoja.