KOPLANARNE TOČKE: ENAČBA, PRIMER IN REŠENE VAJE - MATEMATIKA - 2026

V koplanarne točke, vsi pripadajo isti ravnini. Dve točki sta vedno koplanarni, saj te točke definirajo črto, skozi katero potekajo neskončne ravnine. Nato obe točki pripadata vsaki od ravnin, ki gredo skozi črto in zato bosta vedno koplanarni.

Po drugi strani tri točke določajo posamezno ravnino, iz katere sledi, da bodo tri točke vedno koplanarne glede na ravnino, ki jo določijo.

Slika 1. A, B, C in D so koplanarne glede na ravnino (Ω). E, F in G niso koplanarne do (Ω), ampak so koplanarne z ravnino, ki jo določijo. Vir: F. Zapata.

Več kot tri točke so lahko koplanarne ali ne. Na primer na sliki 1 so točke A, B, C in D koplanarne glede na ravnino (Ω). Toda E, F in G niso koplanarni s (Ω), čeprav so koplanarni z ravnino, ki jo definirajo.

Enačba ravnine s tremi točkami

Enačba ravnine, ki jo določajo tri znane točke A, B, C, je matematični odnos, ki zagotavlja, da katera koli točka P s splošnimi koordinatami (x, y, z), ki izpolnjuje enačbo, pripada omenjeni ravnini.

Prejšnji stavek je enakovreden temu, da če P koordinate (x, y, z) izpolnjujejo enačbo ravnine, potem bo omenjena točka koplanarna s tremi točkami A, B, C, ki so določile ravnino.

Da bi našli enačbo te ravnine, začnimo z iskanjem vektorjev AB in AC :

AB =

AC =

Vektorski produkt AB X AC povzroči, da je vektor pravokoten ali normalen na ravnino, določeno s točkami A, B, C.

Vsaka točka P s koordinatami (x, y, z) pripada ravnini, če je vektor AP pravokoten na vektor AB X AC , ki je zagotovljen, če:

AP • (AB X AC) = 0

To je enako, če rečemo, da je trojni izdelek AP , AB in AC enak nič. Zgornjo enačbo lahko zapišemo v matrični obliki:

Primer

Naj bodo točke A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) in D (a, 0, 1). Kakšno vrednost mora imeti, da so štiri točke koplanarne?

Rešitev

Da bi našli vrednost a, mora biti točka D del ravnine, določene z A, B in C, ki je zajamčena, če izpolnjuje enačbo ravnine.

Razvoj determinante imamo:

Prejšnja enačba nam pove, da je a = -1 za izpolnjevanje enakosti. Z drugimi besedami, edini način, da je točka D (a, 0,1) koplanarna s točkami A, B in C, je za a enaka -1. V nasprotnem primeru ne bo koplanarno.

Rešene vaje

- Vaja 1

Ravnina preseka kartezijanske osi X, Y, Z pri 1, 2 in 3. Presečišče te ravnine z osi določa točke A, B in C. Poiščite komponento Dz točke D, katere kartezijanske komponente so:

Pod pogojem, da je D koplanarna s točkami A, B in C.

Rešitev

Ko so znani prestrezki ravnine s kartezijanskimi osmi, lahko uporabimo segmentno obliko enačbe ravnine:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Ker mora točka D pripadati prejšnji ravnini, mora:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Se pravi:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Iz zgoraj navedenega sledi, da je točka D (3, -2, -3) koplanarna s točkami A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) in C (0, 0, 3).

- Vaja 2

Ugotovite, ali so točke A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) in D (2, 3, 1) sta koplanarna.

Rešitev

Oblikujemo matrico, katere vrstice so koordinate DA, BA in CA. Nato se izračuna determinant in preveri, ali je nič ali ne.

Po opravljenih vseh izračunih se sklene, da so koplanarni.

- Vaja 3

V vesolju sta dve črti. Ena od njih je črta (R), katere parametrična enačba je:

Drugi pa je premica (S), katere enačba je:

Pokažite, da sta (R) in (S) koplanarne črte, torej da ležijo v isti ravnini.

Rešitev

Začnimo tako, da poljubno vzamemo dve točki na premici (R) in dve na premici (S):

Vrstica (R): λ = 0; A (1, 1, 1) in λ = 1; B (3, 0, 1)

Naj bo x = 0 v premici (S) => y = ½; C (0, ½, -1). In po drugi strani, če naredimo y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Se pravi, vzeli smo točki A in B, ki pripadata premici (R), in točki C in D, ki pripadata premici (S). Če so te točke koplanarne, bosta obe vrstici preveč.

Zdaj izberemo točko A kot vrtišče in nato najdemo koordinate vektorjev AB , AC in AD. Na ta način dobite:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Naslednji korak je izdelava in izračunavanje determinante, katere prva vrstica so koeficienti vektorja AB , druga vrstica so vrednosti AC in tretja vrstica vektorja AD :

Ker se izkaže, da je determinant ničen, potem lahko sklepamo, da so štiri točke koplanarne. Poleg tega lahko trdimo, da sta črti (R) in (S) tudi koplanarni.

- Vaja 4

Črte (R) in (S) so koplanarne, kot je prikazano v vaji 3. Poiščite enačbo ravnine, ki jih vsebuje.

Rešitev

Točke A, B, C popolnoma definirajo to ravnino, vendar želimo vsiliti, da ji pripada katera koli točka X koordinat (x, y, z).

Da bi X pripadal ravnini, ki je določena z A, B, C in v kateri so črte (R) in (S), je treba določiti, da je v prvi vrstici sestavljene komponente AX v drugi vrstici, ki jo je določil v drugi vrstici v AB, v tretjem pa v AC :

Po tem rezultatu se združimo na naslednji način:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

In takoj vidiš, da se lahko napiše takole:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Zato je x + 2y - z = 2 enačba ravnine, ki vsebuje premici (R) in (S).

Reference

1. Fleming, W. 1989. Prekalkulusna matematika. Dvorana Prentice PTR.
2. Kolman, B. 2006. Linearna algebra. Pearsonova vzgoja.
3. Leal, JM 2005. Ravna analitična geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektorji. Pridobljeno iz: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Predhodni izračun. Pearsonova vzgoja.
6. Prenowitz, W. 2012. Osnovni pojmi geometrije. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearsonova vzgoja.