PRIDRUŽBENA LASTNOST: SEŠTEVANJE, MNOŽENJE, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Asociativnost dodajanja predstavlja asociativno značaj operacije adicijske v različnih matematičnih nizov. V njem so povezani trije (ali več) elementov omenjenih nizov, imenovani a, b in c, tako da je vedno res:

a + (b + c) = (a + b) + c

Na ta način je zagotovljeno, da je rezultat, ne glede na način združevanja za izvedbo operacije, enak.

Slika 1. Pri izvajanju aritmetičnih in algebričnih operacij večkrat uporabljamo asociativno lastnost seštevanja. (Risba: freepik Sestava: F. Zapata)

Toda treba je opozoriti, da asociativna lastnost ni sinonim za komutativno lastnost. Se pravi, vemo, da vrstni red dodatkov ne spremeni vsote ali da vrstni red faktorjev izdelka ne spremeni. Torej za vsoto lahko zapišemo takole: a + b = b + a.

Vendar pa je v asociativni lastnosti drugače, saj se vrstni red elementov, ki jih je treba dodati, ohranja in kaj se spreminja je operacija, ki se najprej izvede. Kar pomeni, da dodajanje prvega (b + c) in dodajanje a temu rezultatu ni pomembno, kot da začnete z dodajanjem a z dodajanjem rezultata c.

Številne pomembne operacije, kot je seštevanje, so asociativne, vendar niso vse. Na primer, pri odštevanju resničnih števil se zgodi, da:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Če je a = 2, b = 3, c = 1, potem:

2– (3–1) ≠ (2–3) - 1

0 ≠ -2

Pridružljiva lastnost množenja

Kot je bilo storjeno poleg tega, asociativna lastnost množenja določa, da:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

V primeru nabora resničnih števil je enostavno preveriti, ali je vedno tako. Na primer z vrednostmi a = 2, b = 3, c = 1 imamo:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Realna števila izpolnjujejo asociativno lastnost seštevanja in množenja. Po drugi strani je v drugem nizu, kot je na primer vektorjev, vsota asociativna, navzkrižni izdelek ali vektorski izdelek pa ne.

Uporaba asociativne lastnosti množenja

Prednost operacij, pri katerih je asociativna lastnost izpolnjena, je, da se je mogoče združiti na najprimernejši način. To omogoča lažjo ločljivost.

Predpostavimo, da so v majhni knjižnici 3 police s po 5 polic. V vsaki polici je 8 knjig. Koliko knjig je sploh?

Operacijo lahko izvedemo takole: skupaj knjige = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 knjig.

Ali takole: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 knjig.

Slika 2. Ena uporaba asociativne lastnosti množenja je izračunati število knjig na vsaki polici. Slika ustvaril F. Zapata.

Primeri

-V sklopih naravnih, celih, racionalnih, resničnih in kompleksnih števil je izpolnjena asociativna lastnost seštevanja in množenja.

Slika 3. Za realna števila je izpolnjena asociativna lastnost seštevanja. Vir: Wikimedia Commons.

-Za polinomi se uporabljajo tudi pri teh operacijah.

-V primeru operacij odštevanja, delitve in eksponentacije asociativna lastnost ne velja za realna števila ali polinomele.

-V primeru matric je asociativna lastnost izpolnjena za seštevanje in množenje, čeprav v slednjem primeru komutativnost ni izpolnjena. To pomeni, da glede na matrike A, B in C drži, da:

(A x B) x C = A x (B x C)

Toda … A x B ≠ B x A

Pridružitvena lastnost v vektorjih

Vektorji tvorijo drugačen niz od realnih števil ali kompleksnih števil. Operacije, definirane za niz vektorjev, so nekoliko drugačne: obstajajo seštevanje, odštevanje in tri vrste izdelkov.

Vsota vektorjev izpolnjuje asociativno lastnost, prav tako številke, polinomi in matrike. Kar zadeva skalarne izdelke, skalarne z vektorjem in križanjem, narejene med vektorji, jih slednji ne izpolnjuje, a skalarni izdelek, ki je druga vrsta delovanja med vektorji, ga izpolni, upoštevajoč naslednje:

-Proizdelek skalarja in vektorja povzroči vektor.

-I ko skalarno pomnožimo dva vektorja, dobimo skalarni rezultat.

Zato je glede na vektorje v , u in w ter dodatno skalarno λ mogoče zapisati:

- Vsota vektorjev: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Skalarni izdelek: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Slednje je možno zahvaljujoč dejstvu, da je v • u skalar, λ v pa vektor.

Vendar:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Faktorizacija polinomov z razvrščanjem pojmov

Ta aplikacija je zelo zanimiva, saj kot že rečeno, asociativna lastnost pomaga pri reševanju določenih težav. Seštevek monomi je asociativen, kar lahko uporabimo za faktoring, kadar se očiten skupni dejavnik ne pojavi na prvi pogled.

Recimo, da vas prosimo za faktor: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Ta polinom nima skupnega dejavnika, ampak poglejmo, kaj se zgodi, če je razvrščen tako:

Prvi oklepaj ima skupni faktor sekire ² :

V drugem je skupni faktor 3:

Vaje

- Vaja 1

Šolska zgradba ima 4 nadstropja in vsaka ima 12 učilnic s 30 mizami. Koliko skupnih miz ima šola?

Rešitev

To težavo rešimo z uporabo asociativne lastnosti množenja, poglejmo:

Skupno število miz = 4 nadstropja x 12 učilnic / nadstropje x 30 miz / učilnica = (4 x 12) x 30 miz = 48 x 30 = 1440 miz.

Ali če vam je ljubše: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 miz

- Vaja 2

Glede na polinom:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (X) = -8-kratno ² + 3x -7

Če želite najti A (x) + B (x) + C (x), uporabite dodano asociativno lastnost.

Rešitev

Prva dva lahko združite in rezultatu dodate tretjega:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Takoj se doda polinom C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Bralec lahko preveri, da je rezultat enak, če ga rešimo z možnostjo A (x) +.

Reference

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
2. Math is Fun. Komutativni, asociativni in distributivni zakoni. Pridobljeno: mathisfun.com.
3. Skladišče matematike. Opredelitev pridružene lastnine. Pridobljeno od: mathwarehouse.com.
4. Sciaching. Pridružitvena in komutativna lastnost seštevanja in množenja (s primeri). Pridobljeno: sciaching.com.
5. Wikipedija. Pridružitvena lastnina. Pridobljeno: en.wikipedia.org.