PREČNI IZDELEK: LASTNOSTI, APLIKACIJE IN VAJE - MATEMATIKA - 2026

Predložek izdelek ali vektorski produkt je način za množenje dveh ali več vektorjev. Obstajajo trije načini množenja vektorjev, vendar nobeden od teh ni množenje v običajnem pomenu besede. Ena od teh oblik je znana kot vektorski produkt, kar ima za posledico tretji vektor.

Križni izdelek, ki ga imenujemo tudi navzkrižni izdelek ali zunanji izdelek, ima različne algebarske in geometrijske lastnosti. Te lastnosti so zelo koristne, zlasti v smislu študija fizike.

Opredelitev

Formalna definicija vektorskega produkta je naslednja: če so A = (a1, a2, a3) in B = (b1, b2, b3) vektorji, potem je vektorski produkt A in B, ki ga bomo označili kot AxB,:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Zaradi oznake AxB se bere kot "Križni B".

Primer uporabe zunanjega izdelka je, da če sta A = (1, 2, 3) in B = (3, -2, 4) vektorja, potem z uporabo definicije vektorskega izdelka imamo:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Drug način izražanja vektorskega produkta poda zapis z determinanti.

Izračun določevalca drugega reda je dan:

Zato lahko formulo za navzkrižni izdelek, navedeno v definiciji, napišemo na naslednji način:

To je ponavadi poenostavljeno v določitev tretjega reda na naslednji način:

Kadar i, j, k predstavljajo vektorje, ki so podlaga za R ³ .

S tem načinom izražanja navzkrižnega izdelka imamo, da lahko prejšnji primer zapišemo kot:

Lastnosti

Nekatere lastnosti, ki jih ima vektorski izdelek, so naslednje:

Lastnost 1

Če je A kateri koli vektor v R ³ , imamo:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Te lastnosti je enostavno preveriti s samo definicijo. Če je A = (a1, a2, a3), imamo:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Če i, j, k predstavljajo enoto baze R ³ , jih lahko zapišemo na naslednji način:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Torej, imamo naslednje lastnosti:

Za mnenje teh lastnosti se pogosto uporablja naslednji krog:

Tam moramo opozoriti, da kateri koli vektor sam s seboj daje vektor 0, preostale izdelke pa lahko dobimo z naslednjim pravilom:

Križni produkt dveh zaporednih vektorjev v smeri urinega kazalca daje naslednji vektor; in če se upošteva v nasprotni smeri urinega kazalca, je rezultat naslednji vektor z negativnim predznakom.

Zahvaljujoč tem lastnostim lahko vidimo, da vektorski izdelek ni komutativen; na primer samo upoštevajte, da ixj ≠ jx i. Naslednja lastnost nam pove, kako sta AxB in BxA na splošno povezana.

Lastnost 2

Če sta A in B vektorji R ³ , imamo:

AxB = - (BxA).

Demonstracija

Če so A = (a1, a2, a3) in B = (b1, b2, b3), po definiciji zunanjega izdelka imamo:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Prav tako lahko vidimo, da ta izdelek ni asociativen z naslednjim primerom:

ix (ixj) = ixk = - j, vendar (ixi) xj = 0xj = 0

Iz tega vidimo, da:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Lastnost 3

Če so A, B, C vektorji R ³ in R je realno število, v teh primerih:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Zahvaljujoč tem lastnostim lahko izračunamo vektorski produkt z uporabo zakonov algebre pod pogojem, da se vrstni red upošteva. Na primer:

Če sta A = (1, 2, 3) in B = (3, -2, 4), jih lahko zapišemo v smislu kanonične osnove R ³ .

Tako je A = i + 2j + 3k in B = 3i - 2j + 4k. Nato uporabite prejšnje lastnosti:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Lastnost 4 (izdelek s tri pike)

Kot smo omenili na začetku, obstajajo poleg vektorskega izdelka tudi drugi načini množenja vektorjev. Eden od teh načinov je skalarni izdelek ali notranji izdelek, ki ga označimo kot A ∙ B in katerega definicija je:

Če so A = (a1, a2, a3) in B = (b1, b2, b3), potem je A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Lastnost, ki povezuje oba izdelka, je znana kot trojni skalarni izdelek.

Če so A, B in C vektorji R ³ , potem je A ∙ BxC = kotni ∙ C

Kot primer si oglejmo, da je glede na A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) in C = (- 5, 1, - 4) ta lastnost zadovoljena.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Po drugi strani:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Drugi trojni izdelek je Axe (BxC), ki je znan kot produkt trojnih vektorjev.

Lastnost 5 (trojni vektorski izdelek)

Če so A, B in C vektorji R ³ , nato pa:

Os (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Kot primer si oglejmo, da je glede na A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) in C = (- 5, 1, - 4) ta lastnost zadovoljena.

Iz prejšnjega primera vemo, da je BxC = (- 18, - 22, 17). Izračunajmo Ax (BxC):

Os (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Po drugi strani pa moramo:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Tako moramo:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Lastnost 6

Je ena od geometrijskih lastnosti vektorjev. Če sta A in B oba vektorja v R ³ in Θ je kot med njima tvori, nato:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), kjer - ∙ - označuje modul ali velikost vektorja.

Geometrijska razlaga te lastnosti je naslednja:

Naj bo A = PR in B = PQ. Torej je kot, ki ga tvorita vektorja A in B, kot P trikotnika RQP, kot je prikazano na naslednji sliki.

Zato je območje paralelograma, ki ima PR in PQ kot sosednji strani, - A ---- B - sin (ϴ), saj lahko kot osnovo vzamemo -A--, njegova višina pa je dana z --B - greh (ϴ).

Zato lahko sklepamo, da je - AxB-- območje omenjenega paralelograma.

Primer

Glede na naslednje točke štirikotnika P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) in S (5,7, -3), kažejo, da je omenjeni štirikotnik je paralelogram in poiščite njegovo območje.

Za to najprej določimo vektorje, ki določajo smer stranic štirikotnika. To je:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kot vidimo, imata A in C isti režiserjev vektor, za katerega imamo, da sta oba vzporedna; isto se zgodi z B in D. Zato sklepamo, da je PQRS paralelogram.

Če želimo imeti območje tega paralelograma, izračunamo BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Zato bo kvadratni kvadrat:

- BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Sklepamo lahko, da bo območje paralelograma kvadratni koren 89.

Lastnost 7

Dva vektorja A in B sta v R ³ vzporedna, če in samo, če je AxB = 0

Demonstracija

Jasno je, da če sta A ali B ničelni vektor, je AxB = 0. Ker je ničelni vektor vzporeden s katerim koli drugim vektorjem, potem je lastnost veljavna.

Če nobeden od obeh vektorjev ničelni vektor, imamo, da sta njuni velikosti različni od nič; torej oba - A-- A 0 in -B-- ≠ 0, torej bomo imeli -AxB-- = 0, če in samo, če je sin (ϴ) = 0, in to se zgodi, če in samo če ϴ = π ali ϴ = 0.

Zato lahko sklenemo AxB = 0, če in le, če je ϴ = π ali ϴ = 0, kar se zgodi le, ko sta oba vektorja vzporedna drug z drugim.

Lastnost 8

Če sta A in B oba vektorja v R ³ , potem kotni je pravokotna na A in B.

Demonstracija

Za ta dokaz si zapomnimo, da sta dva vektorja pravokotna, če je A ∙ B enak nič. Poleg tega vemo, da:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, vendar je AxA enaka 0. Zato imamo:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

S tem lahko sklepamo, da sta A in AxB pravokotni drug na drugega. Analogno moramo:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Ker je BxB = 0, imamo:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Zato sta AxB in B pravokotni drug na drugega in s tem se pokaže lastnost. To nam je zelo koristno, saj nam omogočajo določitev enačbe ravnine.

Primer 1

Dobite enačbo ravnine, ki poteka skozi točke P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) in R (2, 1, 3).

Naj bo A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) in B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Potem je A = - i + 3j + k in B = i - 2j + k. Da bi našli ravnino, ki jo tvorijo te tri točke, je dovolj, da najdemo vektor, ki je normalen ravnini, to je AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

S tem vektorjem in ob uporabi točke P (1, 3, 2) lahko določimo enačbo ravnine na naslednji način:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Tako imamo, da je enačba ravnine 5x + 2y - z - 9 = 0.

Primer 2

Poiščite enačbo ravnine, ki vsebuje točko P (4, 0, - 2) in ki je pravokotna na vsako od ravnin x - y + z = 0 in 2x + y - 4z - 5 = 0.

Ob vedenju, da je normalen vektor na ravnino os + za + cz + d = 0 enak (a, b, c), imamo, da je (1, -1,1) normalen vektor x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) je normalni vektor 2x + y - 4z - 5 = 0.

Zato mora biti običajen vektor iskane ravnine pravokoten na (1, -1,1) in na (2, 1, - 4). Ta vektor je:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Nato imamo, da je iskana ravnina tista, ki vsebuje točko P (4,0, - 2) in ima vektor (3,6,3) kot običajen vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Prijave

Izračun prostornine paralelepipeda

Aplikacija, ki vsebuje trojni skalarni produkt, je sposobna izračunati volumen paralelepipeda, katerega robove podajajo vektorji A, B in C, kot je prikazano na sliki:

To aplikacijo lahko sklepamo na naslednji način: kot smo že rekli, je vektor AxB vektor, ki je normalen za ravnini A in B. Imamo tudi, da je vektor - (AxB) še en vektor, normalen na omenjeno ravnino.

Izberemo običajni vektor, ki tvori najmanjši kot z vektorjem C; Brez izgube splošnosti naj bo AxB vektor, katerega kot s C je najmanjši.

Imamo, da imata AxB in C isto izhodišče. Poleg tega vemo, da je območje paralelograma, ki tvori bazo paralelepipeda, - AxB--. Če je torej višina paralelepipeda izražena s h, imamo, da bo njegova prostornina:

V = --AxB - h.

Po drugi strani pa razmislimo o točkovnem izdelku med AxB in C, ki ga lahko opišemo na naslednji način:

Vendar imamo po trigonometričnih lastnostih, da je h = -C - cos (ϴ), torej:

Na ta način imamo to:

Na splošno velja, da je prostornina paralelepipeda podana z absolutno vrednostjo trojnega skalarnega produkta AxB ∙ C.

Rešene vaje

Vaja 1

Glede na točke P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) in S = (2, 6, 9), te točke tvorijo paralelepiped, katerega robovi to so PQ, PR in PS. Določite prostornino omenjenega paralelepipeda.

Rešitev

Če vzamemo:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Z lastnostjo trojnega skalarnega izdelka imamo:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Zato imamo, da je volumen omenjenega paralelepipeda 52.

Vaja 2

Določite prostornino paralelepipeda, katerega robovi so podani z A = PQ, B = PR in C = PS, kjer so točke P, Q, R in S (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) in (2, 2, 5).

Rešitev

Najprej imamo, da je A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Izračunamo AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Nato izračunamo AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Tako sklepamo, da je prostornina omenjenega paralelepipeda 1 kubična enota.

Reference

1. Leithold, L. (1992). Izračun z analitično geometrijo. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizika Vol. 1. Mehika: celinsko.
3. Saenz, J. (drugi). Vektorski izračun 1ed. Hipotenuza.
4. Spiegel, MR (2011). Vektorska analiza 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Izračun več spremenljivk 4ed. Mc Graw Hill.