TEORETIČNA VERJETNOST: KAKO DO NJE, PRIMERI, VAJE - DUDE - 2026

Teoretični (ali Laplace) verjetnost , da pride do dogodka E, ki spada v vzorec vesoljski S, pri kateri imajo vsi dogodki enako verjetnost pojavljanja, ki je definirana v matematičnem zapisu, kot je: P (E) = N (E) / N (S)

Kjer je P (E) verjetnost, podana kot količnik med skupnim številom možnih izidov dogodka E, ki mu rečemo n (E), deljeno s skupnim številom N (S) možnih izidov v vzorčnem prostoru S.

Slika 1. Pri metanju šeststranske matrice je teoretična verjetnost, da je tridelna glava na vrhu, ⅙. Vir: Pixabay.

Teoretična verjetnost je resnično število med 0 in 1, vendar je pogosto izražena kot odstotek, v tem primeru bo verjetnost vrednost med 0% in 100%.

Izračun verjetnosti dogodka je zelo pomemben na številnih področjih, kot so trgovanje z zalogami, zavarovalnice, igre na srečo in še veliko drugih.

Kako priti do teoretične verjetnosti?

Ilustrativni primer je loparjev ali loterij. Recimo, da je za žrebanje pametnega telefona izdanih 1.000 vstopnic. Ker se žrebanje izvede naključno, ima ena izmed vstopnic enake možnosti za zmagovalca.

Če želite najti verjetnost, da je zmagovalec, ki kupi vozovnico s številko 81, se izvede naslednji teoretični izračun verjetnosti:

P (1) = 1 / 1.000 = 0,001 = 0,1%

Zgornji rezultat se razlaga tako: če bi žreb ponovil neskončno večkrat, bi bila vsaka 1.000-krat vozovnica 81 izbrana v povprečju enkrat.

Če nekdo iz nekega razloga pridobi vse vozovnice, je gotovo, da bo osvojil nagrado. Verjetnost za pridobitev nagrade, če imate vse vstopnice, se izračuna na naslednji način:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

To pomeni, da verjetnost 1 ali 100% pomeni, da je povsem gotovo, da bo prišlo do tega rezultata.

Če je nekdo lastnik 500 vstopnic, so možnosti za zmago ali izgubo enake. Teoretična verjetnost dobitka nagrade se v tem primeru izračuna na naslednji način:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Kdor ne kupi nobene vozovnice, nima možnosti za zmago in njegova teoretska verjetnost je določena na naslednji način:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Primeri

Primer 1

Imate kovanec z obrazom na eni strani in ščitnikom ali pečatom na drugi strani. Ko se kovanec vrže, kolikšna je teoretična verjetnost, da bo prišel na glavo?

P (obraz) = n (obraz) / N (obraz + ščit) = ½ = 0,5 = 50%

Rezultat se razlaga tako: če bi bilo narejeno ogromno število metov, bi v povprečju na vsaka dva metka eden od njih prišel na glavo.

V odstotkih je interpretacija rezultata ta, da bi z neomejeno velikim številom metov v povprečju od 100 od teh 50 povzročili glave.

Primer 2

V škatli so 3 modri marmorji, 2 rdeča marmorja in 1 zelen. Kolikšna je teoretična verjetnost, da ko marmor vzamete iz škatle, bo rdeč?

Slika 2. Verjetnost pridobivanja barvnih marmorjev. Vir: F. Zapata.

Verjetnost, da se obarva rdeče, je:

P (rdeča) = Število ugodnih primerov / Število možnih primerov

Se pravi:

P (rdeča) = Število rdečih marmorjev / Skupno število marmorjev

Končno je verjetnost, da je narisan rdeč marmor:

P (rdeča) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Medtem ko je verjetnost, da je pri risanju zelenega marmorja:

P (zelena) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Končno je teoretična verjetnost pridobitve modrega marmorja pri slepi ekstrakciji:

P (modra) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

To pomeni, da bo za vsaka dva poskusa rezultat v enem od njih modra, v drugem pa drugačna barva, pod pogojem, da se ekstrahirani marmor zamenja in da je število poskusov zelo, zelo veliko.

Vaje

Vaja 1

Določite verjetnost, da bo kotanje matrice dobilo vrednost, manjšo ali enako 4.

Rešitev

Za izračun verjetnosti tega dogodka bo uporabljena definicija teoretične verjetnosti:

P (≤4) = Število ugodnih primerov / Število možnih primerov

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Vaja 2

Poiščite verjetnost, da se bo na dveh zaporednih metih običajnega šeststranskega kosa 5 vrtelo 2-krat.

Rešitev

Če želite odgovoriti na to vajo, naredite tabelo, ki bo prikazala vse možnosti. Prva številka označuje rezultat prve matrice, druga pa rezultat druge.

Za izračun teoretične verjetnosti moramo vedeti skupno število možnih primerov, v tem primeru, kot je razvidno iz prejšnje tabele, obstaja 36 možnosti.

Glede na tabelo je razvidno, da je število primerov, ki so naklonjeni primeru, da se v dveh zaporednih izstrelitvah izkaže 5, samo 1, označeno z barvo, zato je verjetnost, da se ta dogodek zgodi, naslednja:

P (5 x 5) = 1/36.

Do tega rezultata bi lahko prišli tudi z uporabo ene od lastnosti teoretične verjetnosti, ki pravi, da je kombinirana verjetnost dveh neodvisnih dogodkov rezultat njihovih posameznih verjetnosti.

V tem primeru je verjetnost, da bo prvi vrgel 5, ⅙. Drugi met je popolnoma neodvisen od prvega, zato je verjetnost, da se v drugem valja 5, tudi ⅙. Torej je kombinirana verjetnost:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Vaja 3

Poiščite verjetnost, da je število, ki je manjše od 2, zasukano na prvem metu in številka večja od 2.

Rešitev

Spet je treba sestaviti tabelo možnih dogodkov, kjer so podčrtani tisti, v katerih je bil prvi met manj kot 2, v drugem večji od 2.

Skupno je 4 od skupno 36 možnosti. To je verjetnost tega dogodka:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Uporaba izrek verjetnosti, ki pravi:

Dobi se enak rezultat:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Vrednost, dobljena s tem postopkom, sovpada s predhodnim rezultatom s pomočjo teoretične ali klasične definicije verjetnosti.

Vaja 4

Kolikšna je verjetnost, da je pri valjanju dveh kock vsota vrednosti 7.

Rešitev

Za iskanje rešitve v tem primeru je bila sestavljena tabela možnosti, v kateri so primeri, ki izpolnjujejo pogoj, da je vsota vrednosti 7, barvno označena.

Če pogledamo tabelo, je mogoče prešteti 6 možnih primerov, zato je verjetnost:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Reference

1. Canavos, G. 1988. Verjetnost in statistika: Aplikacije in metode. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Verjetnost in statistika za inženirstvo in znanost. 8. Izdaja. Zveza.
3. Lipschutz, S. 1991. Serija Schaum: Verjetnost. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorija verjetnosti. Uredništvo Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Verjetnost in statistika za inženiring in znanosti. Pearson.