INJEKTIVNA FUNKCIJA: KAJ JE, ZA KAJ GRE IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2025

Injektivna preslikava je vsako razmerje elementov domene z enim samim elementom codomain. Znane tudi kot funkcija ena na ena ( 1 - 1 ), so del klasifikacije funkcij glede na povezanost njihovih elementov.

Element kodne domene je lahko samo slika posameznega elementa domene, na ta način vrednosti odvisne spremenljivke ni mogoče ponoviti.

Vir: Avtor.

Jasen primer bi bilo združevanje moških z delovnimi mesti v skupini A in v skupini B šefi. Funkcija F bo tista, ki vsakega delavca poveže s svojim šefom. Če je vsak delavec povezan z drugim šefom preko F , potem F bo injektivna preslikava .

Če želite funkcijo upoštevati kot injektivno , morate izpolniti naslednje:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

To je algebrski način povedanja. Za vsakega x _{1, ki je} različen od x _2, imamo F (x ₁ ), ki se razlikuje od F (x ₂ ).

Za kaj so namenjene injekcijske funkcije?

Injektivnost je lastnost neprekinjenih funkcij, saj zagotavljajo dodelitev slik za vsak element domene, kar je bistven vidik v neprekinjenosti funkcije.

Pri risanju črte, ki je vzporedna z osjo X na grafu injektivne funkcije, se je grafa treba dotikati le v eni sami točki, ne glede na to, na kateri višini ali velikosti je črta Y črta. To je grafični način za preizkus injektivnosti funkcije.

Drug način preverjanja, ali je funkcija injektivna, je reševanje neodvisne spremenljivke X glede na odvisno spremenljivko Y. Potem je treba preveriti, če domena tega novega izraza vsebuje realna števila hkrati z vsako vrednostjo Y obstaja ena sama vrednost X.

Funkcije ali razmerja vrstnega reda med drugim upoštevajo zapis F: D _f → C _f

Kaj se bere F, ki sega od D _f do C _f

Kjer funkcija F nanaša nabora Domena in Kodomena. Znana tudi kot začetni in zaključni set.

Domena D _f vsebuje dovoljene vrednosti za neodvisno spremenljivko. Codomain C _f je sestavljena iz vseh vrednosti, ki so na voljo za odvisne spremenljivke. Elementi C _f, povezani z D _f, so znani kot Obseg funkcije (R _f ).

Funkcijsko kondicioniranje

Včasih se lahko funkcija, ki ni injektivna, podvrže določenim pogojem. Ti novi pogoji lahko postanejo injektivna funkcija. Veljavne so vse vrste sprememb domene in kodne domene funkcije, pri čemer je cilj izpolnjevanje lastnosti injektivnosti v ustreznem razmerju.

Primeri injekcijskih funkcij z rešenimi vajami

Primer 1

Funkcijo F: R → R določimo s črto F (x) = 2x - 3

A:

Vir: Avtor.

Opazimo, da za vsako vrednost domene obstaja slika v kododini. Ta slika je edinstvena, zaradi česar je F injektivna funkcija. To velja za vse linearne funkcije (funkcije, katerih najvišja stopnja spremenljivke je ena).

Vir: Avtor.

Primer 2

Naj bo funkcija F: R → R definirana s F (x) = x ² +1

Vir: Avtor

Pri risanju vodoravne črte opazimo, da je graf najden večkrat. Zaradi tega funkcija F ni injektivna, dokler je definirano R → R

Nadaljujemo s pogojem domene funkcije:

F: R ⁺ U {0} → R

Vir: Avtor

Zdaj neodvisna spremenljivka ne jemlje negativnih vrednosti, na ta način se izogne ​​ponovitvi rezultatov in funkcija F: R ⁺ U {0} → R, definirana s F (x) = x ² + 1, je injektivna .

Druga homologna rešitev bi bila omejiti domeno na levo, torej omejiti funkcijo na samo negativne in ničelne vrednosti.

Nadaljujemo s pogojem domene funkcije

F: R ^- U {0} → R

Vir: Avtor

Zdaj neodvisna spremenljivka ne sprejme negativnih vrednosti, na ta način se prepreči ponavljanje rezultatov in funkcija F: R ^- U {0} → R, definirana s F (x) = x ² + 1, je injektivna .

Trigonometrične funkcije imajo valovno podobna vedenja, kjer je zelo pogosto najti ponovitve vrednosti v odvisni spremenljivki. S specifičnim kondicioniranjem lahko na podlagi predhodnega poznavanja teh funkcij domeno zožimo, da izpolnimo pogoje injektivnosti.

Primer 3

Naj bo funkcija F: → R definirana s F (x) = Cos (x)

V intervalu kosinusna funkcija spreminja svoje rezultate med nič in eno.

Vir: Avtor.

Kot je razvidno iz grafa. Začne se od nič pri x = - π / 2, nato doseže največ pri ničli. Po x = 0 se vrednosti začnejo ponavljati, dokler se pri x = π / 2 ne vrnejo na nič . Na ta način je znano, da F (x) = Cos (x) za interval ni injiciran .

Pri preučevanju grafa funkcije F (x) = Cos (x) opazimo intervale, kjer se obnašanje krivulje prilagaja merilom injektivnosti. Takšen interval

Kadar se funkcija spreminja, je rezultat od 1 do -1, ne da bi v odvisni spremenljivki ponovili nobeno vrednost.

Na ta način funkcijska funkcija F: → R, definirana s F (x) = Cos (x). Je injektivna

Obstajajo podobne primere nelinearnih funkcij. Za izraze racionalnega tipa, kjer imenovalec vsebuje vsaj eno spremenljivko, obstajajo omejitve, ki preprečujejo injektivnost odnosa.

Primer 4

Naj bo funkcija F: R → R definirana s F (x) = 10 / x

Funkcija je definirana za vsa realna števila, razen {0}, ki imajo nedoločenost (ni je mogoče deliti z ničlo) .

Ko se odvisna spremenljivka približa ničli z leve, ima zelo velike negativne vrednosti, takoj za ničlo pa vrednosti odvisne spremenljivke prevzamejo velike pozitivne številke.

Zaradi te motnje je izraz F: R → R definiran s F (x) = 10 / x

Ne bodite injektivni.

Kot je razvidno iz prejšnjih primerov, izključitev vrednosti v domeni služi "popravljanju" teh nedoločnosti. Nadaljujemo, da iz domene izključimo nič, pri čemer začetni in zaključni niz definiramo na naslednji način:

R - {0} → R

Kjer R - {0} simbolizira reals, razen niza, katerega edini element je nič.

Na ta način je izraz F: R - {0} → R, definiran s F (x) = 10 / x, injektiven.

Primer 5

Naj bo funkcija F: → R definirana s F (x) = Sen (x)

V intervalu sinusna funkcija spreminja svoje rezultate med nič in eno.

Vir: Avtor.

Kot je razvidno iz grafa. Začne se od nič pri x = 0 in nato doseže največ pri x = π / 2. Po x = π / 2 se vrednosti začnejo ponavljati, dokler se pri x = π ne vrnejo na nič . Na ta način je znano, da F (x) = Sen (x) za interval ni injiciran .

Pri preučevanju grafa funkcije F (x) = Sen (x) opazimo intervale, kjer se obnašanje krivulje prilagaja merilom injektivnosti. Takšen interval

Kadar se funkcija spreminja, je rezultat od 1 do -1, ne da bi v odvisni spremenljivki ponovili nobeno vrednost.

Na ta način je funkcija F: → R definirana s F (x) = Sen (x). Je injektivna

Primer 6

Preverite, ali je funkcija F: → R definirana s F (x) = Tan (x)

F: → R, definirano s F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R, določena s črto F (x) = 7x + 2

Reference

1. Uvod v logiko in kritično razmišljanje. Merrilee H. Salmon. Univerza v Pittsburghu
2. Problemi pri matematični analizi. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Univerza v Vroclavu Na Poljskem.
3. Elementi abstraktne analize. Mícheál O'Searcoid, dr. Oddelek za matematiko. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Uvod v logiko in metodologijo deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Univerza v Oxfordu.
5. Načela matematične analize. Enrique Linés Escardó. Uredništvo Reverté S. A 1991. Barcelona, ​​Španija.