MULTIPLIKATIVNI PRINCIP: TEHNIKE IN PRIMERI ŠTETJA - MATEMATIKA - 2026

Multiplikativni načelo je tehnika se uporablja za reševanje problemov štetje, da bi našli rešitev, ne da bi morali navesti svoje elemente. Znano je tudi kot temeljno načelo kombinatorne analize; temelji na zaporednem množenju, da se ugotovi, kako se lahko zgodi dogodek.

To načelo navaja, da če je mogoče odločitev (d ₁ ) sprejeti na n načine in drugo odločitev (d ₂ ) sprejeti na m načinov, bo skupno število načinov sprejemanja odločitev d ₁ in d ₂ enako pomnožiti z n _* m. Po načelu se vsaka odločitev sprejme ena za drugo: število načinov = N _{1 *} N ₂ … _* N _x načinov.

Primeri

Primer 1

Paula namerava hoditi v kino s prijatelji, za izbiro oblačil, ki jih bo nosila, pa ločim 3 bluze in 2 krila. Na koliko načinov se Paula lahko obleče?

Rešitev

V tem primeru mora Paula sprejeti dve odločitvi:

d ₁ = izberite med tremi bluzami = n

d ₂ = Izberite med dvema kriloma = m

Tako Paula ima n _* m odločitve, da bi ali različne načine oblačenja.

n _* m = 3 _* 2 = 6 odločitev.

Multiplikativni princip se rodi iz tehnike drevesnega diagrama, ki je diagram, ki povezuje vse možne rezultate, tako da se lahko vsak zgodi v končnem številu krat.

Primer 2

Mario je bil zelo žejen, zato je odšel v pekarno kupiti sok. Luis skrbi zanj in mu pove, da je na voljo v dveh velikostih: veliki in majhni; in štiri okuse: jabolčno, pomarančno, limono in grozdje. Na koliko načinov lahko Mario izbere sok?

Rešitev

Na diagramu je razvidno, da ima Mario 8 različnih načinov izbire soka in da je tako kot pri multiplikativnem načelu ta rezultat dobljen z množenjem n _* m. Razlika je le v tem, da lahko v tem diagramu vidite, kakšni so načini, kako Mario izbere sok.

Ko pa je število možnih rezultatov zelo veliko, je praktičneje uporabiti multiplikativno načelo.

Tehnike štetja

Tehnike štetja so metode, ki se uporabljajo za neposredno štetje, in s tem poznamo število možnih ureditev, ki jih lahko imajo elementi danega niza. Te tehnike temeljijo na več načelih:

Načelo dodajanja

To načelo pravi, da če se dva dogodka m in n ne moreta zgoditi hkrati, bo število načinov, na katere se lahko zgodi prvi ali drugi dogodek, vsota m + n:

Število oblik = m + n… + x različnih oblik.

Primer

Antonio se želi peljati na potovanje, vendar se ne odloči, do katerega cilja; pri Južni turistični agenciji vam ponujajo promocijo za potovanje v New York ali Las Vegas, medtem ko vzhodna turistična agencija priporoča potovanje v Francijo, Italijo ali Španijo. Koliko različnih možnosti potovanja vam ponuja Antonio?

Rešitev

Pri Južni turistični agenciji Antonio ima dve možnosti (New York ali Las Vegas), pri vzhodni turistični agenciji pa 3 možnosti (Francija, Italija ali Španija). Število različnih alternativ je:

Število alternativ = m + n = 2 + 3 = 5 alternativ.

Načelo permutacije

Gre za natančno naročanje vseh ali nekaterih elementov, ki sestavljajo niz, da bi olajšali štetje vseh možnih dogovorov, ki jih je mogoče sestaviti z elementi.

Število permutacij n različnih elementov naenkrat je predstavljeno kot:

_n P _n = n!

Primer

Štirje prijatelji se želijo fotografirati in želijo vedeti, na koliko različnih načinov jih je mogoče urediti.

Rešitev

Želite vedeti nabor vseh možnih načinov fotografiranja štirih oseb. Tako morate:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 različnih oblik.

Če je število permutacij n razpoložljivih elementov sestavljeno iz delov niza, sestavljenih iz r elementov, je predstavljeno kot:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Primer

V učilnici je 10 sedežev. Če pouk obiskuje 4 učence, na koliko različnih načinov lahko učenci zapolnijo pozicije?

Rešitev

Glede na to, da je skupno število stolov 10, jih bomo uporabili le 4. Za določitev števila permutacij uporabimo dano formulo:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 načinov zapolnjevanja položajev.

Obstajajo primeri, ko se nekateri razpoložljivi elementi niza ponavljajo (so enaki). Za izračun števila nizov hkrati z vsemi elementi se uporablja naslednja formula:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Primer

Koliko različnih besed s štirimi črkami lahko tvorimo iz besede "volk"?

Rešitev

V tem primeru so 4 elementi (črke), od katerih sta dva povsem enaka. Z dano formulo je znano, koliko različnih besed ima rezultat:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 različnih besed.

Načelo kombinacije

Gre za ureditev vseh ali nekaterih elementov, ki sestavljajo komplet brez določenega naročila. Če imate na primer razporeditev XYZ, bo med drugim enaka ureditvam ZXY, YZX, ZYX; to je zato, ker so elementi vsake ureditve enaki, čeprav niso v istem vrstnem redu.

Ko so nekateri elementi (r) vzeti iz niza (n), je načelo kombinacije podana po naslednji formuli:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Primer

V trgovini prodajajo 5 različnih vrst čokolade. Na koliko različnih načinov lahko izberete 4 čokolade?

Rešitev

V tem primeru je treba izbrati 4 čokolade iz 5 vrst, ki jih prodajajo v trgovini. Vrstni red, po katerem so izbrani, ni pomemben, poleg tega pa je mogoče vrsto čokolade izbrati več kot dvakrat. Če uporabljate formulo, morate:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 različnih načinov izbire 4 čokolade.

Ko so vzeti vsi elementi (r) niza (n), je načelo kombinacije podana po naslednji formuli:

_n C _{n =} n!

Rešene vaje

Vaja 1

Obstaja bejzbolska ekipa s 14 člani. Na koliko načinov lahko za igro dodelimo 5 položajev?

Rešitev

Set je sestavljen iz 14 elementov in želite dodeliti 5 določenih položajev; se pravi, da je zadeva urejena. Formula permutacije se uporablja, kadar je n razpoložljivih elementov sestavljenih iz delov niza, ki jih tvori r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Če je n = 14 in r = 5. Nadomeščen je s formulo:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 načinov za dodelitev 9 igralnih mest.

Vaja 2

Če se družina z devetimi leti odpravi na potovanje in kupi vozovnice z zaporednimi sedeži, na koliko različnih načinov se lahko usedemo?

Rešitev

Gre za približno 9 elementov, ki bodo zaporedno zasedali 9 sedežev.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 različnih načinov sedenja.

Reference

1. Hopkins, B. (2009). Viri za poučevanje diskretne matematike: projekti v učilnicah, zgodovinski moduli in članki.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskretna matematika. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Končni in diskretni matematični reševalec problemov. Uredniki raziskovalnega in izobraževalnega združenja.
4. Padró, FC (2001). Diskretna matematika. Politèc. Katalonije.
5. Steiner, E. (2005). Matematika za uporabne vede. Povrni.