PARALELEPIPED: ZNAČILNOSTI, VRSTE, OBMOČJE, PROSTORNINA - MATEMATIKA - 2026

Paralelepiped je geometrijska telesa sestavljena iz šestih ploskvah, katerega glavna značilnost je, da so vse njene ploskvah paralelograme ter da so njegovi nasprotni ploskvi med seboj vzporedni. Je navaden polieder v našem vsakdanjem življenju, saj ga lahko najdemo v škatlah za čevlje, obliki opeke, obliki mikrovalovne pečice itd.

Paralelepiped, ki je polieder, zajema končni volumen, vsi obrazi pa so ravni. Je del skupine prizem, ki so tisti poliedri, v katerih so vse njene konice v dveh vzporednih ravninah.

Elementi paralelepipeda

Obrazi

Vsaka od regij je tvorjena s paralelogrami, ki omejujejo paralelepiped. Paralelepiped ima šest obrazov, kjer ima vsak obraz štiri sosednje obraze in enega nasprotnega. Prav tako je vsak obraz vzporeden s svojim nasprotjem.

Robovi

So skupna stran dveh obrazov. Skupaj ima paralelepiped dvanajst robov.

Vertex

To je skupna točka treh obrazov, ki mejita dva po dva. Paralelepiped ima osem tock.

Diagonalno

Glede na dva obraza paralelepipeda nasproti drugemu lahko narišemo odsek črte, ki sega od vrha enega obraza do nasprotnega vrha drugega.

Ta segment je znan kot diagonala paralelepipeda. Vsak paralelepiped ima štiri diagonale.

Center

To je točka, na kateri se sekajo vse diagonale.

Značilnosti paralelepipeda

Kot smo že omenili, ima to geometrijsko telo dvanajst robov, šest obrazov in osem tock.

V paralelepipedu je mogoče prepoznati tri sklope, ki jih tvorijo štirje robovi, ki so med seboj vzporedni. Poleg tega imajo robovi omenjenih nizov tudi enako dolžino.

Druga lastnost, ki jo imajo paralelepipedi, je ta, da so konveksni, to je, če vzamemo katerikoli par točk, ki pripada notranjosti paralelepipeda, bo odsek, določen s parom točk, tudi znotraj paralelepipeda.

Poleg tega so paralelepipedi, ki so konveksni poliedri, skladni z Eulerjevim teoremom za poliedre, ki nam daje razmerje med številom obrazov, številom robov in številom vrhov. To razmerje je podano v obliki naslednje enačbe:

C + V = A + 2

Ta lastnost je znana kot Eulerjeva značilnost.

Kjer je C število obrazov, V število tock in A število robov.

Vrste

Paralelepipede lahko glede na njihove obraze razvrstimo v naslednje vrste:

Ortohedron

So paralelepipedi, kjer njihovi obrazi tvorijo šest pravokotnikov. Vsak pravokotnik je pravokoten na tiste, ki imajo rob. Najpogostejše so v našem vsakdanjem življenju, to je običajna oblika škatel za čevlje in opeke.

Navadna kocka ali heksahedron

To je poseben primer prejšnjega, kjer je vsak od obrazov kvadrat.

Kocka je tudi del geometrijskih teles, imenovanih platonske trdne snovi. Platonska trdna snov je konveksni polieder, tako da sta njena obraza in notranji koti enaki drug drugemu.

Rombohedron

Za obraz je paralelepiped z rombovi. Vsi ti rombi so med seboj enaki, saj si delijo robove.

Rombohedron

Njenih šest obrazov so romboidi. Spomnimo se, da je romboid mnogokotnik s štirimi stranicami in štirimi koti, ki sta enaka dva do dva. Romboidi so paralelogrami, ki niso niti kvadratki, niti pravokotniki niti rombi.

Po drugi strani so poševni paralelepipedi, pri katerih se vsaj ena višina ne ujema z njihovim robom. V to klasifikacijo lahko vključimo romboedre in romboedre.

Izračun diagonale

Za izračun diagonale ortoedra lahko uporabimo Pitagorov izrek za R ³ .

Spomnimo se, da ima ortohedron značilnost, da je vsaka stran pravokotna na stranice, ki delijo rob. Iz tega dejstva lahko razberemo, da je vsak rob pravokoten na tiste, ki imajo točko.

Za izračun dolžine diagonale ortoedra nadaljujemo na naslednji način:

1. Izračunamo diagonalo enega od obrazov, ki ga bomo postavili kot podlago. Za to uporabljamo pitagorejski izrek. Poimenujmo to diagonalo d _b .

2. Nato z d _b lahko oblikujemo nov pravi trikotnik, tako da je hipotenuza omenjenega trikotnika diagonala D, ki jo išče.

3. Znova uporabimo pitagorejski izrek in imamo, da je dolžina te diagonale:

Drug način za izračun diagonale na bolj grafičen način je dodajanje prostih vektorjev.

Spomnimo se, da sta dva prosta vektorja A in B dodana tako, da rep vektorja B postavimo s konico vektorja A.

Vektor (A + B) je tisti, ki se začne na repu A in konča na konici B.

Razmislimo o paralelepipedu, za katerega želimo izračunati diagonalo.

Robove identificiramo s priročno usmerjenimi vektorji.

Nato dodamo te vektorje in dobljeni vektor bo diagonala paralelepipeda.

Območje

Območje paralelepipeda je dano s seštevkom vsakega od območij njegovih obrazov.

Če določimo eno od strani kot osnovo,

A _L + 2A _B = Skupna površina

Kjer je A _L enak vsoti površin vseh strani, ki mejijo na osnovo, se imenujejo stransko območje in A _B je površina osnove.

Glede na vrsto paralelepipeda, s katerim delamo, lahko to formulo na novo napišemo.

Območje ortoedra

Podana je po formuli

A = 2 (ab + bc + ca).

Primer 1

Glede na naslednji ortohedron s stranicami a = 6 cm, b = 8 cm in c = 10 cm izračunajte površino paralelepipeda in dolžino njegove diagonale.

Z uporabo formule za območje ortoedra imamo to

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Upoštevajte, da je dolžina katere koli od štirih diagonale enaka ortoedru.

Z uporabo pitagorejskega izrekanja za vesolje imamo to

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Območje kocke

Ker ima vsak rob enako dolžino, imamo, da sta a = b in a = c. Nadomestitev s prejšnjo formulo, ki jo imamo

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Primer 2

Škatla igralne konzole je oblikovana kot kocka. Če želimo to škatlo zaviti z darilnim ovojem, koliko papirja bi porabili, vedoč, da je dolžina robov kocke 45 cm?

Z uporabo formule za površino kocke dobimo to

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Območje romboedra

Ker so vsi njihovi obrazi enaki, le izračunajte površino enega od njih in ga pomnožite s šestimi.

Ugotavljamo, da lahko površino romba izračunamo po njegovih diagonalah z naslednjo formulo

A _R = (Dd) / 2

Iz te formule sledi, da je skupna površina romboedra

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Primer 3

Obrazi naslednjega romboedra so tvorjeni z rombom, katerega diagonali sta D = 7 cm in d = 4 cm. Vaše območje bo

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ² .

Območje romboedra

Za izračun površine romboedra moramo izračunati površino romboidov, ki ga sestavljajo. Ker paralelepipedi izpolnjujejo lastnost, da imajo nasprotne strani enako območje, lahko strani povežemo v tri pare.

Na ta način imamo, da bo vaše območje

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Kjer so b _i podlage, povezane s stranicami, in h _i njihova relativna višina, ki ustreza tem podlagam.

Primer 4

Upoštevajte naslednji paralelepiped,

pri čemer imata stran A in stran A '(njena nasprotna stran) bazo b = 10 in višino h = 6. Označeno območje bo imelo vrednost

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B in B 'imata b = 4 in h = 6, torej

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC in C 'imata torej b = 10 in h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Končno je območje romboedra

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Prostornina paralelepipeda

Formula, ki nam daje volumen paralelepipeda, je rezultat površine enega od njegovih obrazov za višino, ki ustreza temu obrazu.

V = A _C h _C

Glede na vrsto paralelepipeda lahko to formulo poenostavimo.

Tako imamo na primer, da bi prostornino ortoedra dobili z

V = abc.

Kjer a, b in c predstavljajo dolžino robov ortoedra.

In v posebnem primeru kocka je

V = a ³

Primer 1

Obstajajo trije različni modeli škatel za piškote in želite vedeti, v kateri od teh modelov lahko shranite več piškotkov, torej kateri od škatel ima največjo prostornino.

Prva je kocka, katere rob je dolžine a = 10 cm

Njegova prostornina bo V = 1000 cm ³

Drugi ima robove b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

In zato je njegova prostornina V = 765 cm ³

In tretji ima e = 9 cm, f = 9 cm in g = 13 cm

In njegova prostornina je V = 1053 cm ³

Zato je škatla z največjo prostornino tretja.

Druga metoda za pridobitev volumna paralelepipeda je uporaba vektorske algebre. Zlasti izdelek s trojno piko.

Ena od geometrijskih interpretacij trojnega skalarnega izdelka je volumen paralelepipeda, katerega robovi so trije vektorji, ki imajo isto točko kot izhodišče.

Na ta način, če imamo paralelepiped in želimo vedeti, kakšen je njegov volumen, je dovolj, da ga v R ³ predstavljamo v koordinatnem sistemu ^tako, da ena od njegovih vrhov sovpada z izvorom.

Nato si z vektorji, kot je prikazano na sliki, predstavljamo robove, ki sovpadajo ob izvoru.

In na ta način imamo, da je prostornina omenjenega paralelepipeda podana s

V = - AxB ∙ C-

Oziroma je volumen determinant matrice 3 × 3, ki jo tvorijo komponente robnih vektorjev.

Primer 2

Ko predstavlja naslednjo Paralelepipedna v R ³ lahko vidimo, da so vektorji, ki ga določajo naslednji

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) in w = (-0,25, -4, 4)

Z uporabo trojnega skalarnega izdelka, ki ga imamo

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Iz tega sklepamo, da je V = 60

Zdaj razmislimo o naslednjem paralelepipedu v R3, katerega robove določimo z vektorji

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) in C = (3, 4, 4)

Uporaba določil nam daje to

Tako imamo, da je volumen omenjenega paralelepipeda 112.

Oba sta enakovredna načina izračunavanja prostornine.

Popoln paralelepiped

Ortohedron je znan kot Eulerjeva opeka (ali Eulerjev blok), ki izpolnjuje lastnost, da sta tako dolžina njegovih robov kot dolžina diagonale vsakega od njegovih obrazov cela števila.

Čeprav Euler ni bil prvi znanstvenik, ki je preučeval ortoedre, ki izpolnjujejo to lastnost, je o njih našel zanimive rezultate.

Najmanjšo Eulerjevo opeko je odkril Paul Halcke, dolžine njegovih robov pa so a = 44, b = 117 in c = 240.

Odprta težava v teoriji števil je naslednja

Ali obstajajo popolni ortoedri?

Trenutno ni odgovorjeno na to vprašanje, saj ni bilo mogoče dokazati, da takšnih organov ne obstaja, pa tudi nobenega niso našli.

Do zdaj se je izkazalo, da obstajajo popolni paralelepipedi. Prvi odkrit ima dolžino njegovih robov vrednosti 103, 106 in 271.

Bibliografija

1. Guy, R. (1981). Nerešeni problemi v teoriji števil. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija. Napredek.
3. Leithold, L. (1992). Izračun z analitično geometrijo. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Tehnična risba: Knjiga aktivnosti 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizika Vol. 1. Mehika: celinsko.