HIPERBOLIČNI PARABOLOID: DEFINICIJA, LASTNOSTI IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2026

Hiperbolični paraboloid je površina, katere splošna enačba v kartezičnih koordinat (x, y, z) izpolnjuje naslednja enačba:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Ime "paraboloid" izhaja iz dejstva, da je spremenljivka z odvisna od kvadratov spremenljivk x in y. Medtem ko pridevnik "hiperbolični" nastane zaradi dejstva, da imamo pri fiksnih vrednostih z enačbo hiperbole. Oblika te površine je podobna obliki konjskega sedla.

Slika 1. Hiperbolični paraboloid z = x ² - y ² . Vir: F. Zapata z uporabo Wolframa Mathematica.

Opis hiperboličnega paraboloida

Za razumevanje narave hiperboličnega paraboloida bomo naredili naslednjo analizo:

1.- Vzeli bomo poseben primer a = 1, b = 1, to je, da kartezijanska enačba paraboloida ostane kot z = x ² - y ² .

2.- Ravnine veljajo vzporedno z ravnino ZX, to je y = ctte.

3.- Z y = ctte ostane z = x ² - C, ki predstavljata parabole z vejami navzgor in vrhom pod ravnino XY.

Slika 2. Družina krivulj z = x ² - C. Vir: F. Zapata z uporabo Geogebre.

4.- Z x = ctte ostane z = C - y ² , ki predstavljata parabole z vejami navzdol in vrhom nad ravnino XY.

Slika 3. Družina krivulj z = C - y ² . Vir: F. Zapata skozi Geogebra.

5.- Z z = ctte ostane C = x ² - y ² , ki predstavljata hiperbole v ravninah, vzporednih z ravnino XY. Kadar je C = 0, sta dve premici (na + 45 ° in -45 ° glede na os X), ki sekata na izvoru na ravnini XY.

Slika 4. Družina krivulj x ² - y ² = C. Vir: F. Zapata z uporabo Geogebre ..

Lastnosti hiperboličnega paraboloida

1.- Štiri različne točke v tridimenzionalnem prostoru definirajo enega in samo enega hiperboličnega paraboloida.

2.- Hiperbolični paraboloid je površina, ki ima dvojno vladanje. To pomeni, da kljub ukrivljeni površini skozi vsako točko hiperboličnega paraboloida prehajata dve različni črti, ki v celoti pripadata hiperboličnemu paraboloidu. Druga površina, ki ni ravnina in ji dvojno vlada, je hiperboloid revolucije.

Ravno druga lastnost hiperboličnega paraboloida je omogočila njegovo široko uporabo v arhitekturi, saj se površina lahko ustvari iz ravnih tramov ali strun.

Druga lastnost hiperboličnega paraboloida omogoča njegovo alternativno opredelitev: površino je mogoče ustvariti s premikajočo se premico, vzporedno s fiksno ravnino, in odreza dve fiksni liniji, ki služita kot vodnik. Naslednja slika pojasnjuje to nadomestno opredelitev hiperboličnega paraboloida:

Slika 5. Hiperbolični paraboloid je podvojena površina. Vir: F. Zapata.

Primeri dela

- Primer 1

Pokažite, da enačba: z = xy, ustreza hiperboličnemu paraboloidu.

Rešitev

Transformacija bo uporabljena za spremenljivki x in y, ki ustrezata vrtenju kartezijanskih osi glede na os Z + 45º. Stare koordinate x in y se pretvorijo v novi x 'in y' v skladu z naslednjimi razmerji:

x = x '- y'

y = x '+ y'

medtem ko koordinata z ostane enaka, to je z = z '.

Z zamenjavo enačbe z = xy imamo:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Z uporabo opaznega produkta razlike za vsoto, ki je enaka razliki kvadratov

z '= x' ² - y ' ²

kar jasno ustreza prvotno dani definiciji hiperboličnega paraboloida.

Preseganje ravnin, vzporednih z osjo XY, s hiperboličnim paraboloidom z = xy določa enakostranske hiperbole, ki imajo kot asimptote ravnine x = 0 in y = 0.

- Primer 2

Določite parametra a in b hiperboličnega paraboloida, ki poteka skozi točke A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) in D (2, -1, 32/9).

Rešitev

Po njegovih lastnostih štiri točke v tridimenzionalnem prostoru določajo en sam hiperbolični paraboloid. Splošna enačba je:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Nadomestimo dane vrednosti:

Za točko A imamo 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , enačbo, ki je izpolnjena ne glede na vrednosti parametrov a in b.

Z zamenjavo točke B dobimo:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Za točko C ostaja:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Na koncu za točko D dobimo:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Kar je identično prejšnji enačbi. Na koncu je treba rešiti sistem enačb:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Če odštejemo drugo enačbo od prve, dobimo:

27/9 = 3 / a ^2, kar pomeni, da je a ² = 1.

Na podoben način se odšteje druga enačba od četverice prve, pri čemer dobimo:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Kar je poenostavljeno kot:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Skratka, hiperbolični paraboloid, ki gre skozi dane točke A, B, C in D, ima kartuzijansko enačbo, ki jo poda:

z = x ² - (4/9) y ²

- Primer 3

Glede na lastnosti hiperboličnega paraboloida skozi vsako točko potekata dve črti, ki sta v njem popolnoma vsebovani. V primeru z = x ^ 2 - y ^ 2 poiščite enačbo dveh črt, ki prehajata skozi točko P (0, 1, -1), ki očitno pripadata hiperboličnemu paraboloidu, tako da vse točke teh vrstic pripadajo tudi enako.

Rešitev

Z izjemnim zmnožkom razlike kvadratov lahko enačbo hiperboličnega paraboloida zapišemo takole:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Kjer je c ničelna konstanta.

Enačba x + y = cz in enačba x - y = 1 / c ustrezata dvema ravninama z normalnima vektorjema n = <1,1, -c> in m = <1, -1,0>. Vektorski produkt mxn = <- c, -c, -2> nam daje smer presečišča obeh ravnin. Potem ima ena od vrstic, ki poteka skozi točko P in pripada hiperboličnemu paraboloidu, parametrično enačbo:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Za določitev c nadomestimo točko P v enačbi x + y = cz in dobimo:

c = -1

Na podoben način, vendar glede na enačbi (x - y = kz) in (x + y = 1 / k) imamo parametrično enačbo premice:

= <0, 1, -1> + s s k = 1.

Če povzamemo, dve vrstici:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> in = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

V celoti so vsebovani v hiperboličnem paraboloidu z = x ² - y ^{2, ki} poteka skozi točko (0, 1, -1).

Predpostavimo, da je t = 1, ki nam v prvi vrstici daje točko (1,2, -3). Preveriti morate, ali je tudi na paraboloidu z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Kar potrjuje, da res spada na površino hiperboličnega paraboloida.

Hiperbolični paraboloid v arhitekturi

Slika 6. Oceanografsko območje Valencije (Španija) Vir: Wikimedia Commons.

Hiperbolični paraboloid so v arhitekturi uporabljali veliki avantgardni arhitekti, med katerimi izstopata imena španskega arhitekta Antonija Gauda (1852-1926) in še posebej španskega Félixa Candela (1910-1997).

Spodaj je nekaj del, ki temeljijo na hiperboličnem paraboloidu:

-Kapela mesta Cuernavaca (Mehika) delo arhitekta Félixa Candela.

-Oceanografsko območje Valencije (Španija), prav tako Félix Candela.

Reference

1. Enciklopedija matematike. Pravila površina. Pridobljeno: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hiperbolični paraboloid. Pridobljeno: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hiperbolični paraboloid." From MathWorld - spletni vir Wolfram. Pridobljeno: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedija. Paraboloid. Pridobljeno: en.wikipedia.com
5. Wikipedija. Paraboloid. Pridobljeno: es.wikipedia.com
6. Wikipedija. Vladala površina. Pridobljeno: en.wikipedia.com