REALNE ŠTEVILKE: ZGODOVINA, PRIMERI, LASTNOSTI, OPERACIJE - MATEMATIKA - 2026

Za realne številke predstavljajo številčno niz, ki vsebuje naravne številke, cela števila, racionalna in iracionalna. Označujejo jih s simbolom ℝ ali preprosto R, njihovo področje uporabe v znanosti, tehniki in ekonomiji pa je takšno, da je, če govorimo o številu, skoraj samoumevno, da je resnično število.

Prave številke so bile uporabljene že od antičnih časov, čeprav jim tega imena ni bilo dano. Od trenutka, ko je Pitagoras razvil svoj slavni izrek, so se pojavila števila, ki jih ni mogoče dobiti kot količnik naravnih števil ali celih števil.

Slika 1. Vennov diagram, ki prikazuje, kako množica realnih števil vsebuje ostale množice. Vir> Wikimedia Commons.

Primeri števil so √2, √3 in π. Te številke imenujemo neracionalne, v nasprotju z racionalnimi števili, ki izvirajo iz količnikov celih števil. Zato je bil potreben numerični niz, ki obsega oba razreda števil.

Izraz "resnično število" je ustvaril veliki matematik René Descartes (1596-1650), da bi ločil dve vrsti korenin, ki lahko izhajata iz reševanja polinomske enačbe.

Nekatere od teh korenin so lahko celo korenine negativnih števil, Descartes je te "namišljene številke" poimenoval, tiste, ki pa niso, pa resnične številke.

Poimenovanje se je sčasoma obdržalo, tako da sta nastala dva velika številčna niza: realna števila in zapletena števila, večji množica, ki vključuje resnična števila, namišljena števila in tista, ki so del resnična in del namišljena.

Evolucija resničnih števil se je nadaljevala, dokler ni leta 1872 matematik Richard Dedekind (1831-1936) s tako imenovanimi rezami Dedekind formalno določil množico realnih števil. Sinteza njegovega dela je bila objavljena v članku, ki je ugledal luč istega leta.

Primeri resničnih številk

Spodnja tabela prikazuje primere realnih števil. Ta niz ima kot podvrsti naravna števila, cela števila, racionalna in iracionalna. Vsako število teh nizov je samo po sebi resnično število.

Zato so 0, negativi, pozitivi, ulomki in decimalke resnična števila.

Slika 2. Primeri realnih števil so naravni, celi, racionalni, iracionalni in transcendentni. Vir: F. Zapata.

Prikaz realnih števil na realni premici

Realne številke so lahko predstavljene v realni črti R , kot je prikazano na sliki. Ni nujno, da je 0 vedno prisoten, vendar je priročno vedeti, da so negativni učinki na levi, pozitivni pa na desni. Zato je odlična referenčna točka.

Na realni črti se prikaže lestvica, v kateri najdemo celo število:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Puščica kaže, da se črta razteza do neskončnosti. A to še ni vse, v vsakem obravnavanem intervalu bomo vedno našli tudi neskončno resnično število.

Realne številke so predstavljene po vrstnem redu. Za začetek je vrstni red celih števil, v katerem so pozitivni vrednosti vedno večji od 0, negativi pa manj.

To naročilo je znotraj dejanskih številk. Naslednje neenakosti so prikazane kot primer:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Slika 3.- Prava črta. Vir: Wikimedia Commons.

Lastnosti realnih števil

- Realna števila vključujejo naravna števila, cela števila, racionalna števila in iracionalna števila.

-Komutativna lastnost seštevanja je izpolnjena: vrstni red dodatkov ne spremeni vsote. Če sta a in b dve realni številki, je vedno res, da:

a + b = b + a

-0 je nevtralni element vsote: a + 0 = a

-Za vsoto je asociativna lastnost izpolnjena. Če so a, b in c realna števila: (a + b) + c = a + (b + c).

-Nasprotno od dejanskega števila je -a.

-Oštevanje je opredeljeno kot vsota nasprotnega: a - b = a + (-b).

-Komutativna lastnost izdelka je izpolnjena: vrstni red dejavnikov ne spremeni izdelka: ab = ba

-V izdelku se uporablja tudi asociativna lastnost: (ab) .c = a. (Bc)

-1 je nevtralen element množenja: a.1 = a

-Dodelna lastnost množenja je veljavna glede na seštevanje: a. (b + c) = ab + ac

-Delitev z 0 ni definirana.

-Vsako realno število a, razen 0, ima multiplikativni inverzni ^-1, tako da je aa ^-1 = 1.

-Če je a resnično število: a ⁰ = 1 in a ¹ = a.

-Absolutna vrednost ali modul dejanskega števila je razdalja med omenjenim številom in 0.

Operacije z realnimi številkami

S stvarnimi številkami lahko izvajate operacije, ki jih izvajate z drugimi številčnimi množicami, vključno z seštevanjem, odštevanjem, množenjem, deljenjem, opolnomočenjem, radikacijo, logaritmi in še več.

Kot vedno ni delitev z 0, ni logaritmov negativnih števil ali 0, čeprav je res, da je log 1 = 0 in da so logaritmi števil med 0 in 1 negativni.

Prijave

Uporaba resničnih številk v vseh vrstah situacij je zelo raznolika. Resnične številke se pojavljajo kot odgovor na številne težave v natančni znanosti, računalništvu, tehniki, ekonomiji in družboslovju.

Vse vrste velikosti in količin, kot so razdalje, časi, sile, jakost zvoka, denar in še veliko več, se izražajo v realnih številkah.

Prenos telefonskih signalov, slike in zvoka videoposnetka, temperature klimatske naprave, grelca ali hladilnika je mogoče digitalno nadzorovati, kar pomeni pretvorbo fizikalnih količin v številčne zaporedje.

Enako se zgodi pri bančni transakciji prek interneta ali pri svetovanju za takojšnja sporočila. Prave številke so povsod.

Vaja rešena

Z vajami si bomo ogledali, kako te številke delujejo v običajnih situacijah, s katerimi se srečujemo vsakodnevno.

Vaja 1

Pošta sprejema samo pakete, katerih dolžina, skupaj z merjenjem pasu, ne presega 108 centimetrov. Zato je za sprejetje prikazanega paketa treba izpolniti naslednje:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Ali bo paket, ki je širok 6 centimetrov, visok 8 centimetrov in dolg 5 čevljev?

b) Kaj pa ena, ki meri 2 x 2 x 4 ft ³ ?

c) Kolikšna je najvišja sprejemljiva višina za paket, katerega osnova je kvadratna in meri 9 x 9 palcev ² ?

Odgovor na

L = 5 čevljev = 60 centimetrov

x = 6 palcev

y = 8 centimetrov

Postopek za reševanje je:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) palcev = 60 + 2 x 14 palcev = 60 + 28 palcev = 88 palcev

Paket je sprejet.

Odgovor b

Dimenzije tega paketa so manjše od paketa a), tako da oba uspeta skozi.

Odgovor c

V tem paketu:

x = L = 9 palcev

Upoštevati je treba, da:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

in ≤ 40,5 palca

Reference

1. Carena, M. 2019. Priročniški matematični priročnik. Nacionalna univerza Litoral.
2. Diego, A. Realne številke in njihove lastnosti. Pridobljeno: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 9. Stopinja. Izdaje CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematika za izračun. 5. Izdaja. Cengage Learning.