- Zgodovina iracionalnih števil
- Lastnosti iracionalnih števil
- Lokacija neracionalne številke na realni črti
- Razvrstitev neracionalnih števil
- Algebrske številke
- Transcendentne številke
- Vaja
- Odgovori
- Reference
V iracionalna števila so tiste, katerih izraz ima neskončne decimalke brez ponavljajoče vzorec, zato ne more biti pridobljena iz razmerja med dvema števil.
Med najbolj znane iracionalne številke sodijo:
Slika 1. Od zgoraj navzdol so naslednje iracionalne številke: pi, Eulerjevo število, zlato razmerje in dve kvadratni korenini. Vir: Pixabay.
Med njimi je nedvomno najbolj znan π (pi), vendar jih je še veliko več. Vsi spadajo v množico resničnih števil, kar je številčni niz, ki združuje racionalna in iracionalna števila.
Elipsa na sliki 1 kaže, da se decimalna mesta nadaljujejo za nedoločen čas, kar se zgodi je, da prostor navadnih kalkulatorjev omogoča prikaz le nekaj.
Če natančno pogledamo, kadar vsakič naredimo količnik med dvema celima števkama, dobimo decimalko z omejenimi številkami ali če ne, z neskončnimi številkami, v katerih se ena ali več ponovijo. No, z iracionalnimi številkami se to ne dogaja.
Zgodovina iracionalnih števil
Veliki starodavni matematik Pitagora, rojen leta 582 pr.n.št. v Samosu v Grčiji, je ustanovil pitagorejsko šolo misli in odkril znameniti izrek, ki nosi njegovo ime. Tu ga imamo na levi strani (Babilonci so ga morda poznali že davno prej).
Slika 2. Pitagorov izrek, uporabljen za trikotnik s stranicama, enakima 1. Vir: Pixabay / Wikimedia Commons.
No, ko je Pitagora (ali verjetno njegov učenec) izrek izrekel na pravi trikotnik s stranicami enakima 1, je našel iracionalno število √2.
To je storil tako:
c = √1 2 + 1 2 = √1 + 1 = √2
In takoj je spoznal, da to novo število ne izhaja iz količnika med dvema drugim naravnima številom, ki sta bila takrat znana.
Zato ga je označil za neracionalno, odkritje pa je med pitagorejci povzročilo veliko tesnobo in zmedo.
Lastnosti iracionalnih števil
-V množica vseh iracionalnih števil je označen s črko I in včasih kot Q * ali Q C . Zveza med iracionalnimi števili I ali Q * in racionalnimi števili Q povzroča množico realnih števil R.
-Z iracionalnimi številkami se lahko izvajajo znane aritmetične operacije: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, opolnomočenje in več.
-Dodelitev z 0 ni določena med iracionalnimi števili.
-Vsota in produkt med iracionalnimi številkami ni nujno drugo neracionalno število. Na primer:
√2 x √8 = √16 = 4
In 4 ni neracionalna številka.
-Vendar pa seštevek racionalnega števila in iracionalnega števila daje iracionalni rezultat. V to smer:
1 + √2 = 2,41421356237…
-Proizvod racionalnega števila, ki se od iracionalnega števila razlikuje od 0, je tudi iracionalen. Poglejmo ta primer:
2 x √2 = 2.828427125…
-Vratno iracionalno ima za posledico drugo iracionalno število. Poskusimo nekaj:
1 / √2 = 0.707106781…
1 / √3 = 0,577350269…
Te številke so zanimive, ker so tudi vrednosti nekaterih trigonometričnih razmerij znanih kotov. Večina trigonometričnih razmerij je iracionalnih števil, vendar obstajajo izjeme, kot je sin 30º = 0,5 = ½, kar je racionalno.
-V seštevku so izpolnjene komutativne in asociativne lastnosti. Če sta a in b dve iracionalni številki, to pomeni, da:
a + b = b + a.
In če je c še ena iracionalna številka, potem:
(a + b) + c = a + (b + c).
-Porazdelitvena lastnost množenja glede na seštevanje je še ena dobro znana lastnost, ki velja tudi za iracionalna števila. V tem primeru:
a. (b + c) = ab + ac
-Iracionalno ima svoje nasprotje: -a. Če jih seštejemo, je rezultat 0:
a + (- a) = 0
- Med dvema različnima racionaloma obstaja vsaj eno iracionalno število.
Lokacija neracionalne številke na realni črti
Resnična črta je vodoravna črta, kjer se nahajajo resnična števila, od katerih so iracionalne številke pomemben del.
Če najdemo iracionalno število v realni črti, v geometrijski obliki, lahko uporabimo pitagorejski izrek, ravnilo in kompas.
Kot primer bomo v realni črti našli √5, za katero narišemo pravi trikotnik s stranicama x = 2 in y = 1, kot je prikazano na sliki:
Slika 3. Metoda iskanja iracionalne številke v realni črti. Vir: F. Zapata.
Po pitagorejevem izreku je hipotenuza takega trikotnika:
c = √2 2 + 1 2 = √4 + 1 = √5
Zdaj je kompas postavljen s točko na 0, kjer je tudi ena od vertikal desnega trikotnika. Točka kompasovega svinčnika naj bo v točki A.
Narisan je lok oboda, ki se seka na pravo črto. Ker je razdalja med središčem oboda in katero koli točko na njem polmer, ki je enak √5, je presečišče prav tako daleč √5 od središča.
Iz grafa je razvidno, da je √5 med 2 in 2,5. Kalkulator nam da približno vrednost:
√5 = 2,236068
In tako lahko z gradnjo trikotnika z ustreznimi stranicami postavimo druge iracionalne, na primer √7 in druge.
Razvrstitev neracionalnih števil
Neracionalne številke so razvrščene v dve skupini:
-Algebraična
-Transcendentalno ali transcendentalno
Algebrske številke
Algebarske številke, ki so lahko ali niso iracionalne, so rešitve polinomnih enačb, katerih splošna oblika je:
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…. + a 1 x + a o = 0
Primer polinomne enačbe je kvadratna enačba, kot je ta:
x 3 - 2x = 0
Lahko je pokazati, da je iracionalno število √2 ena od rešitev te enačbe.
Transcendentne številke
V nasprotju s tem pa transcendentna števila, čeprav so iracionalna, nikoli ne nastanejo kot rešitev polinomne enačbe.
Transcendentna števila, ki jih najpogosteje najdemo v uporabni matematiki, so π, zaradi njenega razmerja z obodom in številom e ali Eulerjevim številom, ki je osnova naravnih logaritmov.
Vaja
Sivi kvadrat je postavljen na črni kvadrat v položaju, ki je prikazan na sliki. Znano je, da površina črnega kvadrata znaša 64 cm 2 . Koliko sta dolžini obeh kvadratov?
Slika 4. Dva kvadrata, od katerih želimo najti dolžino stranic. Vir: F. Zapata.
Odgovori
Površina kvadrata s stranico L je:
A = L 2
Ker je črni kvadrat 64 cm 2 , mora biti njegova stran 8 cm.
Ta meritev je enaka diagonali sivega kvadrata. Če na to diagonalo uporabimo pitagorejski izrek in ne pozabimo, da strani kvadrata merijo enako, bomo imeli:
8 2 = L g 2 + L g 2
Kjer je L g stran sivega kvadrata.
Zato: 2L g 2 = 8 2
Uporaba kvadratnega korena na obeh straneh enakosti:
L g = (8 / √2) cm
Reference
- Carena, M. 2019. Priročniški matematični priročnik. Nacionalna univerza Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matematika 9. Stopinja. Izdaje CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
- Izobraževalni portal. Iracionalne številke in njihove lastnosti. Pridobljeno: portaleducativo.net.
- Wikipedija. Neracionalne številke. Pridobljeno: es.wikipedia.org.