CELA ŠTEVILA: LASTNOSTI, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Za cela števila so niz uporabnih številk za štetje objektom popolne bogatimi in ne. Šteti tudi tiste, ki so na eni in na drugi strani določenega referenčnega kraja.

Tudi s celimi številkami lahko izvedete odštevanje ali razliko med številom in drugim, ki je večje od njega, rezultat se na primer poravna kot dolg. Razlikovanje med zaslužki in dolgovi poteka z znakoma + in -.

Slika 1. Številčna vrstica za cela števila. Vir: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Zato nabor celih števil vključuje naslednje:

-Positivna cela števila, ki se napišejo pred znakom + ali preprosto brez znaka, saj se tudi razume, da so pozitivna. Na primer: +1, +2, + 3… in tako naprej.

-O 0, pri katerem je znak nepomemben, saj ga ni pomembno dodati, če ga odštejemo od neke količine. Toda 0 je zelo pomemben, saj je referenca za cela števila: na eni strani so pozitivi, na drugi pa negativi, kot vidimo na sliki 1.

- negativna cela števila, ki morajo biti vedno napisana pred znakom -, ker se z njimi razlikujejo zneski, kot so dolgovi in ​​vsi tisti, ki so na drugi strani referenc. Primeri negativnih celih števil so: -1, -2, -3… in nato.

Kako so predstavljena cela števila?

Na začetku predstavljamo celotne številke z nastavljeno notacijo: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, torej seznami in organizirano. Zelo uporabna predstavitev pa je tista, ki jo uporablja številčna vrstica. Za to je treba narisati črto, ki je običajno vodoravna, na kateri je 0 označeno in razdeljeno na enake odseke:

Slika 2. Predstavitev celih števil v številski vrstici. Od 0 na desno so pozitivna cela števila, od 0 na levo pa negativna. Vir: F. Zapata.

Negativi gredo levo od 0, pozitivni pa na desno. Puščice na številski črti simbolizirajo, da številke gredo v neskončnost. Glede na katero koli celo število je vedno mogoče najti tisto, ki je večje ali drugo, ki je manjše.

Absolutna vrednost celega števila

Absolutna vrednost celega števila je razdalja med številom in 0. In razdalje so vedno pozitivne. Zato je absolutna vrednost negativnega celega števila število brez njegovega znaka minus.

Na primer, absolutna vrednost -5 je 5. Absolutna vrednost je označena s črkami, kot sledi:

--5- = 5

Če ga želite prikazati, samo preštejte presledke v številski vrstici, od -5 do 0. Medtem ko je absolutna vrednost pozitivnega celega števila enako število, na primer - + 3- = 3, saj je njegova razdalja od 0 enaka s 3 presledki:

Slika 3. Absolutna vrednost celotnega števila je vedno pozitivna količina. Vir: F. Zapata.

Lastnosti

-Nabor celih števil je označen kot Z in vključuje množico naravnih števil N, njihovi elementi so neskončni.

-Vse eno število in tisto, ki sledi (ali tisto, ki mu sledi), so vedno ločene v enotnosti. Na primer, po 5 pride 6, pri čemer je 1 razlika med njimi.

- Vsako celo število ima predhodnika in naslednika.

-Vse pozitivno celo število je večje od 0.

-Negativno celo število je vedno manjše od 0 in poljubno pozitivno število. Vzemimo za primer številko -100, to je manj kot 2, kot 10 in manj kot 50. Vendar je tudi manj kot -10, -20 in -99 in je večje od -200.

-0 nima pomislekov glede znakov, saj ni niti negativen niti pozitiven.

-S celimi številkami lahko izvajate iste operacije kot z naravnimi števili, in sicer: seštevanje, odštevanje, množenje, opolnomočenje in še več.

-Celo število, nasproti določenemu celotnemu številu x, je –x in vsota celega števila z nasprotjem je 0:

x + (-x) = 0.

Operacije s celimi števili

- Vsota

-Če imajo številke, ki jih je treba dodati, enak znak, se dodajo njihove absolutne vrednosti in rezultat se postavi z znakom, ki ga imata dodatki. Tu je nekaj primerov:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Če so številke drugačnega znaka, se odštejejo absolutne vrednosti (najvišje od najnižje) in rezultat se postavi z znakom števila z najvišjo absolutno vrednostjo, kot sledi:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Lastnosti vsote celih števil

-Vsota je komutativna, zato vrstni red prilog ne spremeni seštevka. Naj sta a in b dve celi številki, res je, da je a + b = b + a

-0 je nevtralni element vsote celih števil: a + 0 = a

-Vse celo število, ki mu je dodano nasprotje, je 0. Nasprotno od + a je –a, in nasprotno od –a je + a. Zato: (+ a) + (-a) = 0.

Slika 2. Pravilo znakov za seštevanje celih števil. Vir: Wikimedia Commons.

- odštevanje

Če odštejemo cela števila, moramo voditi to pravilo: odštevanje je enako seštevanju števila z nasprotjem. Naj bosta a in b dve številki, torej:

a - b = a + (-b)

Recimo, da morate narediti naslednje: (-3) - (+7) in nato:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Množenje

Pomnoževanje celih števil sledi določenim pravilom za znake:

-Proizvod dveh številk z istim znakom je vedno pozitiven.

-Ko se pomnoži dve številki z različnimi znaki, je rezultat vedno negativen.

-Vrednost izdelka je enaka pomnožitvi ustreznih absolutnih vrednosti.

Takoj nekaj primerov, ki pojasnjujejo zgoraj navedeno:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Lastnosti množenja celih števil

- Množenje je komutativno. Naj sta a in b dve celi številki, res je, da: ab = ba, ki se lahko izrazi tudi kot:

-Nevtralen element množenja je 1. Naj bo celo število, torej a.1 = 1

-Vse število, pomnoženo z 0, je enako 0: a.0 = 0

Distributivna lastnost

Množenje je skladno z lastnostjo razdelitve glede seštevanja. Če so a, b in c cela števila, potem:

a. (b + c) = ab + ac

Tu je primer, kako uporabiti to lastnost:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Opolnomočenje

-Če je osnova pozitivna, je rezultat operacije vedno pozitiven.

-Če je osnova negativna, če je eksponent enakomeren, je rezultat pozitiven. in če je eksponent lih, je rezultat negativen.

- Oddelek

V delitvi veljajo enaka pravila o znakih kot pri množenju:

-Če delite dve celi številki istega znaka, je rezultat vedno pozitiven.

-Če sta deljena dva cela števila z različnimi znaki, je količnik negativen.

Na primer:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Pomembno : delitev ni komutativna, z drugimi besedami a ÷ b ≠ b ÷ a in kot vedno delitev z 0 ni dovoljena.

- Opolnomočenje

Naj bo celo število in ga želimo dvigniti na eksponent n, potem moramo pomnožiti a s n-krat, kot je prikazano spodaj:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Upoštevajte tudi naslednje, ob upoštevanju, da je n naravno število:

-Če je a negativen in je n enakomeren, je rezultat pozitiven.

-Ko je a negativen in je n neparno, ima rezultat negativno število.

-Če je a pozitivno in je n sodo ali neparno, dobimo pozitivno celo število.

-Vse število, dvignjeno na 0, je enako 1: a ⁰ = 1

-Vse število, dvignjeno na 1, je enako številu: a ¹ = a

Recimo na primer, da želimo najti (–3) ⁴ , da to storimo tako, da štirikrat pomnožimo (-3), takole: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Drug primer, tudi z negativnim celim številom, je:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Izdelek moči enake osnove

Predpostavimo, da sta dve jakosti enake baze, če ju pomnožimo, dobimo drugo moč z isto bazo, katere eksponent je vsota danih eksponentov:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Koeficient enake osnovne moči

Pri delitvi moči enake osnove je rezultat moč z isto bazo, katere eksponent je odštevanje danih eksponentov:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Tu sta dva primera, ki pojasnjujeta te točke:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Primeri

Oglejmo si preproste primere za uporabo teh pravil, pri čemer ne pozabimo, da je v primeru pozitivnih celih števil znak mogoče opustiti:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Rešene vaje

- Vaja 1

Mravlja se premika po številski vrstici na sliki 1. Od točke x = +3 naredi naslednje gibe:

-Prihaja 7 enot na desni

-Zdaj vrnete 5 enot na levo

-Pojdite še 3 enote na levo.

-Pojde nazaj in premakne 4 enote v desno.

V katerem trenutku je mravlja na koncu turneje?

Rešitev

Poimenimo premike D. Ko so na desni, dobijo pozitiven predznak, pri levi pa negativni znak. Na ta način in od x = +3 imamo:

-Prvi D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Sekunda D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Tretji D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Room D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Ko mravlja konča svojo hojo, je v položaju x = +6. Se pravi, da je v številski vrstici 6 enot desno od 0.

- Vaja 2

Rešite to operacijo:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Rešitev

Ta operacija vsebuje znake združevanja, ki so oklepaji, kvadratni oklepaji in naramnice. Pri reševanju morate najprej poskrbeti za oklepaje, nato oklepaje in nazadnje naramnice. Z drugimi besedami, delati morate od znotraj navzven.

V tej vaji točka predstavlja množenje, če pa ni nobene točke med številko in oklepajem ali drugim simbolom, se razume tudi kot produkt.

Barve pod ločljivostjo korak za korakom služijo kot vodilo za sledenje rezultatu zmanjšanja oklepajev, ki so najbolj notranji simboli združevanja:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Vaja 3

Rešite enačbo prve stopnje:

12 + x = 30 + 3x

Rešitev

Izrazi so združeni z neznanim levo od enakosti, numerični izrazi pa na desni:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Reference

1. Carena, M. 2019. Priročniški matematični priročnik. Nacionalna univerza Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 7. stopnje. Izdaje CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Izbor matematičnih tem. Publikacije Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Celotne številke. Pridobljeno: Cimanet.uoc.edu.