- Primeri sestavljenih števil
- Merila za delitev
- - delitev z 2
- - ločitev za 3
- - ločitev do 5
- -Določljivost do 7
- -Določitev do 11
- -Določitev do 13
- Prime številke drug drugemu
- Kako vedeti, koliko delilnikov ima sestavljeno število
- Rešene vaje
- - Vaja 1
- Rešitev za
- Rešitev b
- Rešitev c
- Rešitev d
- - Vaja 2
- Rešitev
- Reference
Število spojin so tista cela števila, ki imajo več kot dva delilnika. Če natančno pogledamo, so vsa števila vsaj deljiva sama od sebe in 1. Tista, ki imata le ta dva deljenika, se imenujeta praštevilki, tista, ki imajo več, pa so sestavljena.
Poglejmo si številko 2, ki jo lahko ločimo le med 1 in 2. Številka 3 ima tudi dva delitelja: 1 in 3. Zato sta oba prime. Zdaj si oglejmo številko 12, ki jo lahko natančno razdelimo na 2, 3, 4, 6 in 12. Če imamo 5 delitev, je 12 sestavljeno število.
Slika 1. Preštevilčne številke v modri barvi so lahko predstavljene samo z eno vrstico pik, ne pa sestavljenih številk rdeče barve. Vir: Wikimedia Commons.
In kaj se zgodi s številko 1, tisto, ki deli vse ostale? No, ni primeren, ker nima dveh deliteljev in ni sestavljen, zato 1 ne sodi v nobeno od teh dveh kategorij. Vendar obstaja veliko, veliko več številk.
Sestavljene številke lahko izrazimo kot produkt pravih števil in ta izdelek, razen vrstnega reda dejavnikov, je za vsako številko edinstven. To zagotavlja temeljni izrek aritmetike, ki ga je dokazal grški matematik Euklid (325–365 pr. N. Št.).
Vrnimo se k številki 12, ki jo lahko izrazimo na različne načine. Poskusimo nekaj:
12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 2 x 3 = 3 x 2 2 = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2
Oblike, ki so poudarjene s krepkim tiskom, so izdelki iz najboljših številk in edino, kar se spremeni, je vrstni red dejavnikov, za katere vemo, da izdelka ne spremenijo. Druge oblike, čeprav veljajo za izražanje 12, ne vključujejo samo praštev.
Primeri sestavljenih števil
Če želimo sestavljeno število razstaviti na njegove glavne faktorje, ga moramo razdeliti med preprosta števila tako, da je delitev natančna, torej preostanek je 0.
Ta postopek imenujemo primarna faktorizacija ali kanonična razgradnja. Glavni dejavniki se lahko dvignejo na pozitivne dejavnike.
Razkrojili bomo številko 570, pri čemer bomo upoštevali, da je enakomerna in zato deljiva z 2, kar je preprosto število.
Z vrstico bomo ločili številko na levi od delilnikov na desni. Ustrezni količniki so postavljeni pod številko, kot so bili pridobljeni. Razgradnja je končana, ko je zadnja številka v levem stolpcu 1:
570 │2
285 │
Ko delimo z 2, je količnik 285, ki je deljiv s 5, drugo prvo število, ki se konča s 5.
570 │2
285 │5
57 │
57 je deljivo s 3, prav tako prime, saj je vsota njegovih števk 5 + 7 = 12 večkratnica 3.
570 │2
285 │5
57 │3
19 │
Na koncu dobimo 19, kar je prvo število, katerega delitelji sta 19 in 1:
570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │
S pridobitvijo 1 lahko 570 izrazimo na ta način:
570 = 2 x 5 x 3 x 19
In vidimo, da gre v resnici za produkt štirih glavnih številk.
V tem primeru začnemo deliti z 2, vendar bi bili enaki faktorji (v drugem vrstnem redu) dobljeni, če bi na primer začeli z deljenjem s 5.
Slika 2. Sestavljeno številko 42 lahko razstavite tudi z uporabo diagrama v obliki drevesa. Vir: Wikimedia Commons.
Merila za delitev
Če želite sestavljeno število razstaviti na njegove glavne faktorje, ga je potrebno natančno razdeliti. Kriteriji za delitev med preprostimi števili so pravila, ki omogočajo vedeti, kdaj je število natančno delljivo z drugim, ne da bi bilo treba poskusiti ali dokazati.
- delitev z 2
Vse parne številke, tiste, ki se končajo na 0 ali sodo število, se delijo z 2.
- ločitev za 3
Če je vsota števk števila večkratna od 3, potem je število tudi in je torej deljivo s 3.
- ločitev do 5
Številke, ki se končajo na 0 ali 5, so deljive s 5.
-Določljivost do 7
Število je deljivo s 7, če pri ločevanju zadnje števke, pomnožitvi z 2 in odštevanju preostalega števila dobimo vrednost, ki je večkratnica 7.
To pravilo se zdi nekoliko bolj zapleteno kot prejšnje, a v resnici ni tako veliko, zato poglejmo primer: ali bo 98 deljivo s 7?
Upoštevajmo navodila: ločimo zadnjo številko, ki je 8, pomnožimo z 2, ki daje 16. Število, ki ostane pri ločevanju 8, je 9. Odštejemo 16 - 9 = 7. In ker je 7 večkratnik samega, je 98 deljivo med 7.
-Določitev do 11
Če seštevek števil v enakem položaju (2, 4, 6…) odšteje od vsote številk v neparnem položaju (1, 3, 5, 7…) in dobimo 0 ali večkratnik 11, je število deljivo z 11.
Prve množice 11 je enostavno prepoznati: 11, 22, 33, 44… 99. A bodite previdni, 111 ni, namesto tega je 110.
Kot primer poglejmo, ali je 143 večkratnik 11.
Ta številka ima 3 števke, edina parna števka je 4 (druga), dve lihi števki sta 1 in 3 (prva in tretja), njuna vsota pa je 4.
Obe vsoti se odštejeta: 4 - 4 = 0 in ker dobimo 0, se izkaže, da je 143 večkratnik 11.
-Določitev do 13
Število brez številk enake je treba odšteti od 9-krat večje od te številke. Če štetje vrne 0 ali večkratnik 13, je število več 13.
Kot primer bomo preverili, da je 156 večkratnik 13. Številka je 6, število, ki ostane brez nje, pa je 15. Pomnožimo 6 x 9 = 54 in zdaj odštejemo 54 - 15 = 39.
Toda 39 je 3 x 13, torej 56 je večkratnik 13.
Prime številke drug drugemu
Dve ali več pravih ali sestavljenih številk je lahko enostavna ali soprosta. To pomeni, da je edini skupni delitelj 1.
Pri koprimeh si je treba zapomniti dve pomembni lastnosti:
-Dve, tri in več zaporednih številk so vedno ena izmed drugih.
-Isti lahko rečemo za dve, tri ali več zaporednih lih števil.
Na primer, 15, 16 in 17 so preproste številke drug drugemu in tako tudi 15, 17 in 19.
Kako vedeti, koliko delilnikov ima sestavljeno število
Prosto število ima dva delitelja, enako število in 1. In koliko delitev ima sestavljeno število? To so lahko bratranci ali spojine.
Naj bo N sestavljeno število, izraženo v smislu njegove kanonske razgradnje, kot sledi:
N = a n . b m . c p … r k
Kjer so a, b, c… r glavni faktorji in n, m, p… k ustrezni eksponenti. No, število delilnikov C, ki jih ima N, je določeno z:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
S C = glavni delitelji + sestavljeni delitelji + 1
Na primer 570, ki je izražen takole:
570 = 2 x 5 x 3 x 19
Vsi glavni faktorji so povišani na 1, zato 570:
C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 delitev
Od teh 10 delitev že poznamo: 1, 2, 3, 5, 19 in 570. Manjka še 10 delitev, ki so sestavljene številke: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 in 285. Ugotovimo jih tako, da opazujemo razgradnjo v glavne faktorje in hkrati množimo kombinacije teh dejavnikov.
Rešene vaje
- Vaja 1
Naslednje številke razvrstite v glavne dejavnike:
a) 98
b) 143
c) 540
d) 3705
Rešitev za
98 │2
49 │7
7 │7
1 │
98 = 2 x 7 x 7
Rešitev b
143 │11
13 │13
1 │
143 = 11 x 13
Rešitev c
540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │
540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 2 x 3 3
Rešitev d
3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │
3705 = 5 x 3 x 13 x 19
- Vaja 2
Ugotovite, ali so naslednje številke najboljše med seboj:
6, 14, 9
Rešitev
-Delniki 6 so: 1, 2, 3, 6
-Kot za 14 je deljivo s: 1, 2, 7, 14
-Končno 9 ima kot delitelje: 1, 3, 9
Edini skupni delitelj je 1, zato so med seboj najboljši.
Reference
- Baldor, A. 1986. Aritmetika. Izdaje in distribucije Codex.
- Byju's. Primarne in sestavljene številke. Pridobljeno od: byjus.com.
- Primarne in sestavljene številke. Pridobljeno iz: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
- Smartick. Merila za delitev. Pridobljeno: smartick.es.
- Wikipedija. Sestavljene številke. Pridobljeno: en.wikipedia.org.