KOMPLEKSNE ŠTEVILKE: LASTNOSTI, PRIMERI, OPERACIJE - MATEMATIKA - 2026

V zapletenih številke so številčni niz pokriva realne številke in vse korenine polinomov vključno parov korenin negativnih številkah. Te korenine ne obstajajo v množici resničnih števil, toda v kompleksnih številih obstaja rešitev.

Kompleksna številka je sestavljena iz resničnega dela in dela, ki se imenuje "namišljen". Pravi del se imenuje na primer a, namišljeni del ib, z realnimi števili a in b in "i" kot namišljena enota. Na ta način je kompleksno število v obliki:

Slika 1. - Binomna predstavitev kompleksnega števila v smislu realnega dela in namišljenega dela. Vir: Pixabay.

Primeri kompleksnih števil so 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Preden pa operiramo z njimi, poglejmo, od kod izvira namišljena enota, in sicer upoštevamo to kvadratno enačbo:

x ² - 10x + 34 = 0

V kateri so a = 1, b = -10 in c = 34.

Pri uporabi raztopinske formule za določitev rešitve ugotovimo naslednje:

Kako določiti vrednost √-36? Ni resničnega števila, ki na kvadrat ustvari negativno količino. Nato se sklene, da ta enačba nima pravih rešitev.

Vendar lahko to zapišemo:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Če določimo določeno vrednost x tako, da:

x ² = -1

Torej:

x = ± √-1

In zgornja enačba bi imela rešitev. Zato je bila namišljena enota opredeljena kot:

i = √-1

In tako:

√-36 = 6i

Številni matematiki iz antike so delali na reševanju podobnih problemov, zlasti renesančni Girolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Fontana (1501–1557) in Raffaele Bombelli (1526–1572).

Leta kasneje je René Descartes (1596–1650) v svojem primeru imenoval količine »namišljene«, kot so √-36. Zaradi tega je √-1 znan kot imaginarna enota.

Lastnosti kompleksnih števil

-Nabor kompleksnih števil je označen s C in vključuje realna števila R in namišljena števila Im. Številčni nizi so predstavljeni v Vennovem diagramu, kot je prikazano na naslednji sliki:

Slika 2. Vennov diagram številskih sklopov. Vir: F. Zapata.

-Vse zapleteno število je sestavljeno iz resničnega in namišljenega dela.

-Ko je namišljeni del kompleksnega števila 0, je čisto resnično število.

-Če je resnični del kompleksnega števila 0, potem je število čisto namišljeno.

-Dve zapletena števila sta enaka, če sta njuna dejanski del in namišljeni del enaka.

-S kompleksnimi števili se izvajajo znane operacije seštevanja, odštevanja, množenja, zmnoževanja in izboljšave, kar ima za posledico drugo kompleksno število.

Predstavitev kompleksnih števil

Kompleksne številke so lahko predstavljene na različne načine. Tu so glavne:

- Binomna oblika

To je oblika, dana na začetku, kjer je z kompleksno število, a je dejanski del, b je namišljeni del in i je imaginarna enota:

Ali tudi:

Eden od načinov za grafika kompleksnega števila je skozi kompleksno ravnino, prikazano na tej sliki. Zamišljena os Im je navpična, realna os pa vodoravna in je označena kot Re.

Kompleksno število z je v tej ravnini predstavljeno kot točka koordinat (x, y) ali (a, b), kot to počnemo s točkami realne ravnine.

Razdalja od začetka do točke z je modul kompleksnega števila, označen kot r, φ pa je kot, ki ga r naredi s pravo osjo.

Slika 3. Predstavitev kompleksnega števila v kompleksni ravnini. Vir: Wikimedia Commons.

Ta reprezentacija je tesno povezana s predstavitvijo vektorjev v realni ravnini. Vrednost r ustreza modulu kompleksnega števila.

- Polarna oblika

Polarna oblika je sestavljena iz izražanja kompleksnega števila z podajanjem vrednosti r in φ. Če pogledamo sliko, vrednost r ustreza hipotenuzi desnega trikotnika. Noge so vredne a in b ali x in y.

Iz binomne ali binomne oblike se lahko premaknemo v polarno obliko tako, da:

Kot φ je tisti, ki ga tvori odsek r z vodoravno osjo ali namišljeno osjo. Znan je kot argument kompleksnega števila. V to smer:

Argument ima neskončne vrednosti, če upoštevamo, da vsakič, ko zavijemo zavoj, ki je vreden 2 2 radianov, r spet zaseda isti položaj. V tem splošnem primeru se argument z, označen z Arg (z), izrazi tako:

Če je k celo število in se uporablja za označevanje števila obratov: 2, 3, 4…. Znak označuje smer vrtenja, če je v smeri urinega kazalca ali v nasprotni smeri urinega kazalca.

Slika 4. Polarna predstavitev kompleksnega števila v kompleksni ravnini. Vir: Wikimedia Commons.

In če želimo preiti iz polarne oblike v binomno obliko, uporabimo trigonometrična razmerja. Iz prejšnje slike vidimo, da:

x = r cos φ

y = r sin φ

Na ta način z = r (cos φ + i sin φ)

Katera je skrajšana takole:

z = r cis φ

Primeri zapletenih števil

Naslednja kompleksna števila so navedena v binomni obliki:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

In to v obliki urejenega para:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Končno je ta skupina dana v polarni ali trigonometrični obliki:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Zakaj so?

Uporabnost kompleksnih števil presega reševanje kvadratne enačbe, prikazane na začetku, saj so bistvenega pomena na področju tehnike in fizike, zlasti pri:

- Študija elektromagnetnih valov

-Analiza izmeničnega toka in napetosti

- Modeliranje vseh vrst signalov

-Teorija relativnosti, kjer čas predpostavljamo kot namišljeno veličino.

Kompleksne številčne operacije

S kompleksnimi števili lahko izvajamo vse operacije, ki jih izvajamo s pravimi. Nekatere je lažje narediti, če številke pridejo v binomni obliki, na primer seštevanje in odštevanje. Nasprotno pa so množenje in deljenje preprostejše, če se izvajajo s polarno obliko.

Poglejmo nekaj primerov:

- Primer 1

Dodamo z ₁ = 2 + 5i in z ₂ = -3 -8i

Rešitev

Pravi deli se dodajo ločeno od namišljenih delov:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Primer 2

Pomnožimo z ₁ = 4 cis 45º in z ₂ = 5 cis 120º

Rešitev

Pokaže se, da zmnožek dveh kompleksnih števil v polarni ali trigonometrični obliki poda:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Glede na to:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165 °

Uporaba

Preprosta uporaba kompleksnih števil je najti vse korenine polinomne enačbe, kot je ta, prikazana na začetku članka.

V primeru enačbe x ² - 10x + 34 = 0 z uporabo ločitvene formule dobimo:

Zato so rešitve naslednje:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Reference

1. Earl, R. Kompleksne številke. Pridobljeno: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznoliko. Izdaje CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Izbor matematičnih tem. Publikacije Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Wikipedija. Kompleksne številke. Pridobljeno: en.wikipedia.org