EULERJEVA ŠTEVILKA ALI ŠTEVILKA E: KOLIKO JE VREDNA, LASTNOSTI, APLIKACIJE - MATEMATIKA - 2026

Euler številka ali številka e je znana matematična konstanta, ki se pogosto pojavlja v številnih znanstvenih in ekonomskih vlog, skupaj s številko Õ in drugih pomembnih številk iz matematike.

Znanstveni kalkulator za številko e vrne naslednjo vrednost:

Slika 1. Eulerjeva številka se pogosto pojavlja v Science. Vir: F. Zapata.

e = 2.718281828 …

Vendar je znanih veliko več decimalnih mest, na primer:

e = 2.71828182845904523536…

In sodobni računalniki so našli številko trilij decimalnih mest za številko e.

Gre za iracionalno številko, kar pomeni, da ima neskončno število decimalnih mest brez ponovitvenega vzorca (zaporedje 1828 se na začetku pojavi dvakrat in se ne ponovi več).

To pa tudi pomeni, da števila e ne moremo dobiti kot količnik dveh celih števil.

Zgodovina

Številko e je znanstvenik Jacques Bernoulli določil leta 1683, ko je preučeval problem sestavljenega zanimanja, prej pa se je posredno pojavil v delih škotskega matematika Johna Napierja, ki je okoli leta 1618 izumil logaritme.

Vendar ji je Leonhard Euler leta 1727 dal ime številka e in intenzivno preučil njegove lastnosti. Zato je znana tudi kot Eulerjeva številka in tudi kot naravna podlaga za trenutno uporabljene naravne logaritme (eksponent).

Koliko je vredno število e?

Število e je vredno:

e = 2.71828182845904523536…

Elipsa pomeni, da obstaja neskončno število decimalnih mest in v resnici je z današnjimi računalniki teh milijonov.

Predstavitve števila e

Obstaja več načinov za določitev e, ki jih opisujemo v nadaljevanju:

Število e kot omejitev

Eno izmed različnih načinov izražanja števila e je tisto, ki ga je znanstvenik Bernoulli v svojih delih našel o sestavljenih interesih:

Pri katerem morate vrednost n narediti zelo veliko.

S kalkulatorjem je enostavno preveriti, da je prejšnji izraz, ko je n zelo velik, nagnjen k zgornji vrednosti e.

Seveda se lahko vprašamo, kako velik je n, zato poskusimo z okroglimi številkami, kot so na primer:

n = 1000; 10.000 ali 100.000

V prvem primeru dobimo e = 2.7169239…. V drugem e = 2.7181459… in v tretji je veliko bližje vrednosti e: 2.7182682. Že zdaj si lahko predstavljamo, da bo z n = 1.000.000 ali večjim približek še boljši.

V matematičnem jeziku se postopek približevanja in približevanja zelo veliki vrednosti imenuje meja neskončnosti in je označena tako:

Za označevanje neskončnosti se uporablja simbol "∞".

Število e kot vsota

S to operacijo je mogoče določiti tudi število e:

Številke, ki se pojavijo v imenovalcu: 1, 2, 6, 24, 120 …, ustrezajo operaciji n !, kjer:

In po definiciji 0! = 1.

Preprosto je preveriti, da več ko je dodanih dodatkov, natančneje je doseženo število e.

Naredimo nekaj testov z kalkulatorjem in dodamo vse več dodatkov:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Več izrazov, ki se dodajo vsoto, bolj je rezultat podoben e.

Matematiki so za te vsote oblikovali kompaktno oznako z veliko izrazi in uporabili simbol seštevanja Σ:

Ta izraz se bere takole "vsota od n = 0 do neskončnosti 1 med n faktorji".

Število e z geometrijskega vidika

Število e ima grafični prikaz, povezan s površino pod grafom krivulje:

y = 1 / x

Če sta vrednosti x med 1 in e, je to območje enako 1, kot je prikazano na naslednji sliki:

Slika 2. Grafični prikaz števila e: območje pod krivuljo 1 / x, med x = 1 in x = e, je vredno 1. Vir: F. Zapata.

Lastnosti števila e

Nekatere lastnosti števila e so:

-Ne iracionalno je, z drugimi besedami, tega ni mogoče dobiti preprosto z deljenjem dveh celih števil.

-Število e je tudi transcendentno število, kar pomeni, da e ni rešitev za nobeno polinomno enačbo.

- Povezano je s štirimi drugimi znanimi številkami na področju matematike, in sicer: π, i, 1 in 0, prek Eulerjeve identitete:

-Ta tako imenovana kompleksna števila lahko izrazimo s pomočjo e.

- Je osnova naravnih ali naravnih logaritmov današnjega časa (prvotna definicija Johna Napierja se nekoliko razlikuje).

-To je edino število, tako da je njegov naravni logaritem enak 1, to je:

Prijave

Statistika

Število e se pojavlja zelo pogosto na področju verjetnosti in statistike, pojavlja se v različnih distribucijah, kot so običajne ali Gaussove, Poissonove in druge.

Inženiring

V inženirstvu je pogosta, saj je eksponentna funkcija y = e ^x prisotna na primer v mehaniki in elektromagnetizmu. Med številnimi aplikacijami lahko omenimo:

-Kabel ali veriga, ki visi do koncev, sprejme obliko krivulje, ki jo poda:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-Na začetku spraznjeni kondenzator C, ki je zaporedno povezan z uporom R in napetostnim virom V za polnjenje, pridobi določen naboj Q kot funkcijo časa t, ki ga poda:

Q (t) = CV (1 ^{-e -t / RC} )

biologija

Eksponentna funkcija y = Ae ^Bx , s konstanto A in B, se uporablja za modeliranje celične rasti in rasti bakterij.

Fizično

V jedrski fiziki sta radioaktivno razpadanje in določanje starosti modelirana z radiokarbonskim datiranjem.

Gospodarstvo

Pri izračunu sestavljenih obresti število e nastane naravno.

Recimo, da imate določeno količino denarja P _o, da investirate z obrestno mero i% na leto.

Če pustite denar 1 leto, potem boste imeli:

Po enem letu, ne da bi se ga dotaknili, boste imeli:

In tako nadaljujemo še n leta:

Zdaj se spomnimo ene od definicij e:

Deluje nekoliko kot izraz za P, zato mora obstajati odnos.

Nominalno obrestno mero i bomo razdelili v n obdobjih, tako da bo sestavljena obrestna mera i / n:

Ta izraz nekoliko bolj spominja na našo mejo, vendar še vedno ni povsem enak.

Toda po nekaj algebrskih manipulacijah se lahko pokaže, da je sprememba spremenljivke:

Naš denar P postane:

In kar je med naramnicami, četudi je zapisano s črko h, je enako argumentu meje, ki določa številko e, manjka le omejitev.

Naredimo h → ∞ in tisto, kar je med naramnicami, postane število e. To ne pomeni, da moramo čakati neskončno dolgo, da lahko dvignemo svoj denar.

Če pogledamo natančno, če postavimo h = n / i in se nagibamo k ∞, smo dejansko storili širitev obrestne mere na zelo, zelo majhna časovna obdobja:

i = n / h

Temu pravimo neprekinjeno mešanje. V takem primeru se znesek denarja enostavno izračuna takole:

Kjer je letna obrestna mera. Na primer, ko deponirate 12 EUR v 9% na leto, z nenehno kapitalizacijo, po enem letu:

Z dobičkom 1,13 €.

Reference

1. Uživajte v matematiki. Sestavljeni interes: Periodična sestava. Pridobljeno od: enjolasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznoliko. Izdaje CO-BO.
3. García, M. Število e v osnovnem računu. Pridobljeno: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Larson, R. 2010. Izračun spremenljivke. 9. Izdaja. McGraw Hill.