AKSIOMATIČNA METODA: ZNAČILNOSTI, KORAKI, PRIMERI - KULTURNI BESEDNJAK - 2026

Samoumevno Postopek ali tako imenovana Aksiomatika je formalni postopek, ki ga ved uporablja, s pomočjo katerega so formulirane izjave ali stavki imenovani aksiomi, med seboj povezani z odnosom odbijanjem in da so osnova hipoteze ali stanj določenega sistema.

Ta splošna opredelitev mora biti oblikovana v okviru razvoja, ki ga je ta metodologija imela skozi zgodovino. Na prvem mestu je starodavna ali vsebinska metoda, rojena v antični Grčiji iz Euklida in pozneje jo je razvil Aristotel.

Drugič, že v 19. stoletju videz geometrije z aksiomi, ki se razlikujejo od Euklidovih. In končno, formalna ali sodobna aksiomatična metoda, katere največji zagovornik je bil David Hilbert.

Ta postopek je bil zunaj njegovega razvoja skozi čas podlaga za deduktivno metodo, ki se je uporabljal v geometriji in logiki, od koder izvira. Uporabljali so ga tudi v fiziki, kemiji in biologiji.

In to se uporablja celo v okviru pravne znanosti, sociologije in politične ekonomije. Trenutno pa je najpomembnejše področje uporabe matematika in simbolična logika ter nekatere veje fizike, kot so termodinamika, mehanika, med drugimi disciplinami.

značilnosti

Čeprav je temeljna značilnost te metode formulacija aksiomov, te niso vedno obravnavane na enak način.

Obstaja nekaj, ki jih je mogoče definirati in zgraditi poljubno. In drugi, po vzoru, v katerem se intuitivno upošteva njegova zajamčena resnica.

Da bi konkretno razumeli, v čem je ta razlika in njene posledice, je treba iti skozi to metodo.

Starodavna ali vsebinska aksiomatična metoda

Je tista, ki je bila ustanovljena v antični Grčiji pred 5. stoletjem pred našim štetjem. Njena uporaba je geometrija. Temeljno delo te faze so Evklidovi elementi, čeprav velja, da je bil Pitagor že pred njim rodil aksiomatično metodo.

Tako Grki določena dejstva jemljejo kot aksiome, ne da bi pri tem potrebovali kakršen koli logični dokaz, torej brez potrebe po dokazovanju, saj so za njih resnična samoumevna resnica.

Euclid predstavlja pet aksiomov za geometrijo:

1-Glede na dve točki obstaja vrstica, ki ju vsebuje ali združuje.

2-Vsak segment lahko neprekinjeno razširjate v neomejeni vrstici na obeh straneh.

3 - Lahko narišete krog s središčem na kateri koli točki in polmeru.

4-Pravi koti so vsi enaki.

5 -Če vzamemo katerokoli premico in katero koli točko, ki ni v njej, je vzporedno z njo ena črta, ki vsebuje to točko. Kasneje je ta aksiom znan kot aksiom vzporednic, označen pa je tudi kot: iz točke zunaj črte lahko potegnemo eno vzporednico.

Vendar se tako Evklid kot kasnejši matematiki strinjajo, da peti aksiom ni tako intuitivno jasen kot drugi 4. Tudi v času renesanse se poskuša sklepati peti od drugih 4, vendar to ni mogoče.

Tako so že v XIX stoletju tisti, ki so obdržali pet, naklonjeni evklidski geometriji, tisti, ki so zanikali peto, pa tisti, ki so ustvarili neevvlidske geometrije.

Neevvlidska aksiomatična metoda

Ravno Nikolaj Ivanovič Lobačevski, János Bolyai in Johann Karl Friedrich Gauss vidijo možnost, da bi brez protislovja konstruirali geometrijo, ki izvira iz sistemov aksiomov, ki niso iz Euklida. To uniči prepričanje v absolutno resnico ali a priori v aksiome in teorije, ki iz njih izhajajo.

Posledično začnejo aksiomi pojmovati kot izhodišča za dano teorijo. Tudi njegova izbira in problem njegove veljavnosti v takem ali drugačnem smislu se začneta povezati z dejstvi zunaj aksiomatske teorije.

Na ta način se zdijo geometrijske, algebarske in aritmetične teorije zgrajene s pomočjo aksiomatične metode.

Ta faza je vrhunec v ustvarjanju aksiomatskih sistemov za aritmetiko, kot je bil Giuseppe Peano leta 1891; Geometrija Davida Huberta leta 1899; izjave in predikatni izračuni Alfreda North Whiteheada in Bertranda Russella v Angliji leta 1910; Aksiomatska teorija množic Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermela leta 1908.

Sodobna ali formalna aksiomatična metoda

David Hubert je tisti, ki začne koncepcijo formalne aksiomatične metode in ki vodi k njeni vrhunec, David Hilbert.

Prav Hilbert formalizira znanstveni jezik, saj njegove izjave obravnava kot formule ali zaporedja znakov, ki same po sebi nimajo pomena. Dobijo pomen le v določeni razlagi.

V "Temelji geometrije" razloži prvi primer te metodologije. Od tu naprej geometrija postane veda o čistih logičnih posledicah, ki so izvlečene iz sistema hipotez ali aksiomov, bolje artikuliranih od evklidskega sistema.

To je zato, ker v starodavnem sistemu aksiomatska teorija temelji na dokazih o aksiomih. Medtem ko je v temelju formalne teorije podana z demonstracijo neskladja njegovih aksiomov.

Koraki

Postopek, ki izvaja aksiomatsko strukturiranje znotraj znanstvenih teorij, priznava:

a-izbira določenega števila aksiomov, torej več predlogov določene teorije, ki so sprejeti, ne da bi jih bilo treba dokazovati.

b-koncepti, ki so del teh propozicij, niso določeni v okviru dane teorije.

c-postavljena so pravila opredelitve in odbitka dane teorije in omogočajo vnašanje novih konceptov v teorijo ter logično sklepajo o nekaterih predlogah od drugih.

d-druge predloge teorije, torej izrek, sklepamo iz a na podlagi c.

Primeri

To metodo je mogoče preveriti z dokazovanjem dveh najbolj znanih Euklidovih izrek: izrek o nogah in izrek višine.

Oboje izhaja iz opazovanja tega grškega geometra, da se, ko se višina glede na hipotenuzo nariše znotraj pravega trikotnika, pojavita še dva trikotnika izvirnika. Ti trikotniki so si med seboj podobni in hkrati podobni izvoru trikotnika. To predpostavlja, da so njune homologne strani sorazmerne.

Vidimo, da kongruentni koti v trikotniki na ta način preverjajo podobnost med tremi vpletenimi trikotniki po kriteriju podobnosti AAA. To merilo velja, da sta si dva trikotnika enaka kota.

Ko se pokaže, da so trikotniki podobni, je mogoče določiti razmerja, določena v prvi izrek. Ista izjava, da je v desnem trikotniku merilo vsake noge geometrijska sorazmerna srednja vrednost med hipotenuzo in projekcijo noge na njej.

Drugi izrek je višina. Določa, da je katerikoli desni trikotnik višina, ki jo narišemo glede na hipotenuzo, geometrijska sorazmerna sredina med segmenti, ki so določeni z omenjeno geometrijsko sredino na hipotenuzi.

Seveda imata oba izrekanja številne aplikacije po vsem svetu ne le v poučevanju, ampak tudi v inženirstvu, fiziki, kemiji in astronomiji.

Reference

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrija, formalizem in intuicija: David Hilbert in formalna aksiomatična metoda (1895-1905). Revista de Filosofía, letnik 39, št. 2, str.121-146. Vzeto iz revij.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Aksiomatična misel. V W. Ewald, urednik, od Kanta do Hilberta: izvirna knjiga v temelju matematike. Zvezek II, str 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Kakšna je aksiomatična metoda? Synthese, november 2011, letnik 189, str.69-85. Vzeti s povezave.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Uvod v sodobno filozofijo prava. (str.48-49). Vzeto iz books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Aksiomatična metoda, branje Ricarda Nirenberga, jesen 1996, univerza v Albanyju, projekt Renesansa. Vzeti z Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert med formalno in neformalno stranjo matematike. Rokopis vol. 38 št. 2, julij Campinas / avgust 2015. Izvedeno iz scielo.br.