VEKTORSKA ALGEBRA: OSNOVE, VELIČINE, VEKTORJI - MATEMATIKA - 2026

Vektor algebre je veja matematike, ki proučuje sistemi linearnih enačb, vektorjev, matrik, vektorskih prostorov in linearnih transformacij. Povezana je s področji, kot so inženiring, reševanje diferencialnih enačb, funkcionalna analiza, raziskave operacij, računalniška grafika.

Drugo področje, ki ga je linearna algebra prevzela, je fizika, saj je s pomočjo tega mogoče razviti preučevanje fizikalnih pojavov in jih opisovati z uporabo vektorjev. To je omogočilo boljše razumevanje vesolja.

Osnove

Vektorska algebra izvira iz preučevanja kvarterionov (podaljševanje realnih števil) 1, i, j in k, pa tudi iz kartezijanske geometrije, ki sta jo spodbujala Gibbs in Heaviside, ki sta spoznala, da bodo vektorji služili kot instrument za predstavljajo različne fizične pojave.

Vektorska algebra se preučuje s tremi osnovami:

Geometrično

Vektorji so predstavljeni s črtami, ki imajo orientacijo, operacije, kot so seštevanje, odštevanje in množenje z realnimi števili, pa so opredeljene z geometrijskimi metodami.

Analitično

Opis vektorjev in njihovo delovanje poteka s števili, ki jih imenujemo komponente. Ta opis je rezultat geometrijskega prikaza, ker se uporablja koordinatni sistem.

Aksiomatsko

Izdelan je opis vektorjev, ne glede na koordinatni sistem ali katero koli vrsto geometrijskega prikaza.

Preučevanje figur v vesolju poteka z njihovo predstavitvijo v referenčnem sistemu, ki je lahko v eni ali več dimenzijah. Med glavnimi sistemi so:

- Enodimenzionalni sistem, ki je ravna črta, kjer ena točka (O) predstavlja izvor in druga točka (P) določa lestvico (dolžino) in njegovo smer:

- pravokotni koordinatni sistem (dvodimenzionalni), ki je sestavljen iz dveh pravokotnih črt, imenovanih osi x in osi y, ki potekata skozi izhodišče točke (O); na ta način je ravnina razdeljena na štiri regije, ki se imenujejo kvadranti. V tem primeru je točka (P) v ravnini podana z razdaljami med osi in P.

- Polarni koordinatni sistem (dvodimenzionalni). V tem primeru je sistem sestavljen iz točke O (izvor), ki jo imenujemo pol in žarka s poreklom v O, ki se imenuje polarna os. V tem primeru je točka P ravnine glede na pol in polarno os podana s kotom (Ɵ), ki je tvorjen z razdaljo med začetkom in točko P.

- Pravokotni tridimenzionalni sistem, ki ga tvorijo tri pravokotne črte (x, y, z), katerih izvor je točka O v vesolju. Tvorijo se tri koordinatne ravnine: xy, xz in yz; prostor bo razdeljen na osem regij, imenovanih oktani. Referenca točke P v vesolju je podana z razdaljami med ravninama in P.

Veličine

Velikost je fizikalna količina, ki jo je mogoče šteti ali meriti s pomočjo številčne vrednosti, kot pri nekaterih fizičnih pojavih; vendar je treba večkrat opisati te pojave z drugimi dejavniki, ki niso številčni. Zato so veličine razvrščene v dve vrsti:

Skalarna velikost

To so tiste količine, ki so definirane in predstavljene številčno; torej z modulom skupaj z mersko enoto. Na primer:

a) Čas: 5 sekund.

b) Masa: 10 kg.

c) Prostornina: 40 ml.

d) temperatura: 40 ºC.

Veličine

To so tiste količine, ki jih definira in predstavlja modul skupaj z enoto, pa tudi po občutku in smeri. Na primer:

a) Hitrost: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Pospešek: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Sila: 280 N, 120 °.

d) Teža: -40 ĵ kg-f.

Vektorske količine so grafično predstavljene z vektorji.

Kaj so vektorji?

Vektorji so grafični prikazi vektorske količine; to so linijski odseki, v katerih je njihov končni konec vrh puščice.

Ti so določeni z modulom ali dolžino segmenta, njegovo smerjo, ki jo označuje konica puščice, in smer glede na črto, ki ji pripada. Izvor vektorja je znan tudi kot točka nanosa.

Elementi vektorja so naslednji:

Modul

To je razdalja od izvora do konca vektorja, ki jo predstavlja realno število skupaj z enoto. Na primer:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Naslov

To je mera kota, ki obstaja med osjo x (od pozitivnega) in vektorjem, uporabljajo pa se tudi kardinalne točke (sever, jug, vzhod in zahod).

Smisel

Določena je s puščico, ki se nahaja na koncu vektorja, kar označuje, kam gre.

Razvrstitev vektorjev

Vektorji so običajno razvrščeni kot:

Fiksni vektor

Je tista, katere mesto uporabe (izvor) je določeno; to pomeni, da ostane povezan s točko v prostoru, zato se v njem ne more premikati.

Prosti vektor

V prostoru se lahko prosto giblje, ker se njegov izvor premika v katero koli točko, ne da bi spremenil svoj modul, smer ali smer.

Drsnik vektor

To je tisto, ki lahko svoj izvor prenese po svoji liniji delovanja, ne da bi spremenilo svoj modul, smer ali smer.

Lastnosti vektorjev

Med glavnimi lastnostmi vektorjev so naslednje:

Vektorski teamlenses

So tisti prosti vektorji, ki imajo enak modul, smer (ali so vzporedni) in smisel kot drsni vektor ali fiksni vektor.

Ekvivalentni vektorji

Pojavi se, kadar imata dva vektorja isto smer (ali sta vzporedni), enak smisel, in kljub temu, da imata različne module in točke uporabe, povzroči enake učinke.

Vektorska enakost

Ti imajo isti modul, smer in smisel, tudi kadar so njihova izhodišča različna, kar omogoča vzporedni vektor, da se sam prevede, ne da bi pri tem vplival.

Nasproti vektorji

So tisti, ki imajo enak modul in smer, vendar je njihov pomen nasproten.

Enota vektor

Gre za eno, v kateri je modul enak enoti (1). To dobimo tako, da vektor delimo na njegov modul in ga uporabimo za določitev smeri in občutka vektorja v ravnini ali v vesolju z uporabo osnovnih ali normaliziranih enot vektorjev, ki so:

Ničelni vektor

Je tisti, katerega modul je enak 0; to je, da se njegova izvorna točka in konec sovpadata na isti točki.

Sestavni deli vektorja

Sestavni deli vektorja so tiste vrednosti projekcij vektorja na osi referenčnega sistema; Glede na razpad vektorja, ki je lahko na dvodimenzionalni ali tridimenzionalni osi, dobimo dve ali tri komponente.

Sestavni deli vektorja so realna števila, ki so lahko pozitivna, negativna ali celo nič (0).

Če imamo torej vektor Ā, ki ima izvor v pravokotnem koordinatnem sistemu v ravnini xy (dvodimenzionalno), je projekcija na osi x Āx in projekcija na osi y je Āy. Tako bo vektor izražen kot vsota njegovih komponentnih vektorjev.

Primeri

Prvi primer

Imamo vektor Ā, ki se začne od izvora in so podane koordinate njegovih koncev. Tako je vektor Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Če vektor Ā deluje na izvor tridimenzionalnega trikotnega koordinatnega sistema (v prostoru) x, y, z, do druge točke (P), bodo projekcije na njegove osi Āx, Āy in Āz; tako bo vektor izražen kot vsota njegovih treh komponentnih vektorjev.

Drugi primer

Imamo vektor Ā, ki se začne od izvora in so podane koordinate njegovih koncev. Tako je vektor Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Vektorji, ki imajo svoje pravokotne koordinate, se lahko izrazijo v obliki njihovih osnovnih vektorjev. Za to je treba vsako koordinato pomnožiti le s posameznim vektorjem enot, in sicer tako, da sta za ravnino in prostor naslednji:

Za ravnino: Ā = A _x i + A _y j.

Za prostor: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektorske operacije

Obstaja veliko količin, ki imajo modul, smisel in smer, kot so med drugim pospeševanje, hitrost, premik, sila.

Te se uporabljajo na različnih področjih znanosti, za njihovo uporabo pa je v nekaterih primerih treba izvesti tudi operacije, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in delitev vektorjev in skalarjev.

seštevanje in odštevanje vektorjev

Seštevanje in odštevanje vektorjev velja za eno samo algebrsko operacijo, ker lahko odštevanje zapišemo kot vsoto; na primer odštevanje vektorjev Ā in Ē lahko izrazimo kot:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Za seštevanje in odštevanje vektorjev obstajajo različne metode: lahko so grafične ali analitične.

Grafične metode

Uporablja se, kadar ima vektor modul, smer in smer. Za to so narisane črte, ki tvorijo figuro, ki kasneje pomaga določiti rezultat. Med najbolj znanimi so naslednji:

Parallelogramska metoda

Za seštevanje ali odštevanje dveh vektorjev je na koordinatni osi izbrana skupna točka - ki bo predstavljala točko izvora vektorjev -, pri čemer bo njen modul, smer in smer.

Vrstice se nato potegnejo vzporedno z vektorji, da tvorijo paralelogram. Nastali vektor je diagonala, ki sega od točke izvora obeh vektorjev do vrha paralelograma:

Trikotna metoda

Pri tej metodi so vektorji nameščeni drug za drugim, pri čemer vodijo svoje module, navodila in navodila. Rezultat tega vektorja bo zveza izvora prvega vektorja s koncem drugega vektorja:

Analitične metode

Dva ali več vektorjev je mogoče dodati ali odšteti z geometrijsko ali vektorsko metodo:

Geometrijska metoda

Ko dva vektorja tvorita trikotnik ali paralelogram, m) .push ({});

- Skalarna porazdelitvena lastnost: če vektor pomnožimo z vsoto dveh skalarjev, je enako pomnožitvi vektorja za vsak skalar.

Množenje vektorjev

Pomnoževanje ali produkt vektorjev bi bilo mogoče narediti kot seštevanje ali odštevanje, vendar s tem izgubi fizični pomen in ga skoraj nikoli ne najdemo v aplikacijah. Zaradi tega so najpogosteje uporabljene vrste izdelkov skalarni in vektorski izdelek.

Skalarni izdelek

Znan je tudi kot pični izdelek dveh vektorjev. Ko se moduli dveh vektorjev pomnožijo s kosinusom najmanjšega kota, ki se tvori med njimi, dobimo skalar. Če želite izraziti skalarni izdelek med dvema vektorjema, je med njimi postavljena točka, ki jo lahko definiramo kot:

Vrednost kota med obema vektorjema je odvisna od tega, ali sta vzporedna ali pravokotna; tako morate:

- Če so vektorji vzporedni in imajo enak smisel, je kosinus 0º = 1.

- Če so vektorji vzporedni in imajo nasprotne smeri, je kosinus 180º = -1.

- Če so vektorji pravokotni, je kosinus 90º = 0.

Ta kot je mogoče izračunati tudi ob upoštevanju, da:

Izdelek s pikami ima naslednje lastnosti:

- Komutativna lastnost: vrstni red vektorjev ne spremeni skalarja.

-Sodelitvena lastnost: če se skalar pomnoži z vsoto dveh vektorjev, je enak pomnožitvi skalarja za vsak vektor.

Vektorski izdelek

Vektorsko množenje ali navzkrižni produkt dveh vektorjev A in B povzroči nov vektor C in se izrazi s križanjem med vektorji:

Novi vektor bo imel svoje značilnosti. Tako:

- Smer: ta novi vektor bo pravokoten na ravnino, ki jo določijo originalni vektorji.

- Smer: to določimo s pravilom desne roke, kjer je vektor A obrnjen proti B, kar kaže smer vrtenja s prsti, smer vektorja pa je označena s palcem.

- Modul: določi ga z množenjem modulov vektorjev AxB, s sinusom najmanjšega kota, ki obstaja med temi vektorji. Izraženo je:

Vrednost kota med obema vektorjema je odvisna od tega, ali sta vzporedna ali pravokotna. Torej je mogoče navesti naslednje:

- Če so vektorji vzporedni in imajo enak smisel, je sinus 0º = 0.

- Če so vektorji vzporedni in imajo nasprotne smeri, je sinus 180º = 0.

- Če so vektorji pravokotni, je sinus 90º = 1.

Ko se vektorski produkt izrazi z baznimi vektorji, imamo:

Izdelek s pikami ima naslednje lastnosti:

- Ni komutativen: vrstni red vektorjev spremeni skalar.

- Razdelitvena lastnost: če se skalar pomnoži z vsoto dveh vektorjev, je enak pomnožitvi skalarja za vsak vektor.

Reference

1. Altman Naomi, MK (2015). "Enostavna linearna regresija." Naravne metode.
2. Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education,.
3. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearsonova vzgoja.
4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (nd). Algebra Vector v primerih. Moskva: Mir.
5. Lay, DC (2007). Linearna algebra in njene aplikacije. Pearsonova vzgoja.
6. Llinares, JF (2009). Linearna algebra: vektorski prostor. Evklidski vektorski prostor. Univerza v Alicanteju.
7. Mora, JF (2014). Linearna algebra. Domovina.