OMEJITEV FERMATA: IZ ČESA JE SESTAVLJENA IN REŠENE VAJE - MATEMATIKA - 2026

Meja Fermat je numerična metoda, ki se uporablja za pridobitev vrednosti naklona premice, ki je tangenta na funkcijo v določeni točki njene domene. Uporablja se tudi za pridobivanje kritičnih točk funkcije. Njegov izraz je opredeljen kot:

Očitno je, da Fermat ni poznal osnov izpeljave, vendar so njegove študije spodbudile skupino matematikov, da se pozanimajo o tangentnih linijah in njihovih aplikacijah pri računanju.

Kakšna je meja Fermat?

Sestavljen je iz pristopa dveh točk, ki v prejšnjih pogojih tvorita sekantno črto funkcije s presečiščem v parih vrednosti.

S približevanjem spremenljivki vrednosti "a" se par točk prisili v srečanje. Na ta način predhodna sekantna črta postane tangenta na točko (a; f (a)).

Vrednost količnika (x - a), ko se oceni v točki "a", daje nedoločenost mej tipa K med ničlo (K / 0). Kjer se z različnimi tehnikami faktoringa lahko te neodločnosti razbijejo.

Najpogosteje uporabljene tehnike delovanja so:

-Razlika kvadratov (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Obstoj elementa (a - b) pomeni v večini primerov faktor, ki poenostavi izraz (x - a) v količniku meje Fermat.

- Dopolnitev kvadratov (os ² + bx); Po izpolnitvi kvadratov dobimo Newtonov binom, pri katerem se eden od njegovih dveh dejavnikov poenostavi z izrazom (x - a), s čimer se zlomi nedoločnost.

- Konjugat (a + b) / (a ​​+ b); Pomnoževanje in delitev izraza s konjugacijo nekega dejavnika je lahko v veliko pomoč pri razbijanju nedoločljivosti.

- skupni dejavnik; V številnih primerih rezultat števca Fermatove meje f (x) - f (a) skriva faktor (x - a), potreben za faktor. Za to se natančno opazi, kateri elementi se ponavljajo v vsakem faktorju izraza.

Uporaba omejitve Fermat za maksimume in minimalne vrednosti

Čeprav meja Fermat ne razlikuje med maksimumi in minimumi, saj lahko kritične točke prepozna samo v skladu s svojo definicijo, se običajno uporablja pri izračunu zgornjih meja ali talnih funkcij v ravnini.

Osnovno znanje o grafični teoriji funkcij v povezavi s tem izrekom bo morda zadostovalo za določitev največjih in najmanjših vrednosti med funkcijami. Dejansko lahko točke pregiba določimo s teoremom o srednji vrednosti poleg Fermatovega teorema.

Kubična prispodoba

Najpomembnejši paradoks za Fermata je nastal iz preučevanja kubične parabole. Ker je bila njegova pozornost usmerjena na tangentne črte funkcije za določeno točko, je naletel na problem definiranja omenjene tangentne črte na mestu pregiba v funkciji.

Zdelo se je nemogoče določiti tangentno črto do neke točke. Tako se začne preiskava, ki bi povzročila diferenčni izračun. Pozneje jih opredelijo pomembni eksponenti matematike.

Maksim in minimalen

Preučevanje maksimumov in najmanjših funkcij je bilo izziv za klasično matematiko, kjer je bila za njihovo opredelitev potrebna nedvoumna in praktična metoda.

Fermat je ustvaril metodo, ki temelji na delovanju majhnih diferencialnih vrednosti, ki se po faktoring procesih izločijo, pri čemer dajo prednost največji in najmanjši želeni vrednosti.

To spremenljivko bo treba ovrednotiti v izvirnem izrazu, da se določi koordinata omenjene točke, ki bo skupaj z analitičnimi merili opredeljena kot največja ali minimalna vrednost izraza.

Metoda

Fermat v svoji metodi uporablja dobesedno simboliko Viete, ki je bila sestavljena iz izključne uporabe velikih črk: samoglasnikov, za neznanke in soglasnikov za znane količine.

V primeru radikalnih vrednosti je Fermat izvedel poseben postopek, ki ga bodo pozneje uporabili pri faktorizaciji neskončnih meja nedoločnosti med neskončnostjo.

Ta postopek je sestavljen iz deljenja vsakega izraza z vrednostjo uporabljene razlike. V primeru Fermata je uporabil črko E, kjer po delitvi z največjo močjo E iskana vrednost kritične točke postane jasna.

Zgodovina

Meja Fermat je v resnici eden najmanj priznanih prispevkov na dolgem seznamu matematikov. Njegove študije so segale od preprostih številk do v bistvu ustvarile osnovo za izračun.

Fermat je bil sicer znan po svojih ekscentričnostih glede na svoje hipoteze. Skupno mu je bilo, da je pustil neke vrste izziv drugim matematikom tistega časa, ko je že imel rešitev ali dokaz.

Imel je veliko različnih sporov in zavezništev z različnimi matematiki tistega časa, ki so bodisi radi ali z njim sovražili delo z njim.

Njegov zadnji izrek je bil glavni odgovorni za njegovo svetovno slavo, kjer je izjavil, da posploševanje pitagorejskega izrekanja za katero koli stopnjo "n" ni mogoče. Trdil je, da ima za to veljaven dokaz, vendar je umrl, preden je javno objavil.

Na to demonstracijo je bilo treba čakati približno 350 let. Matematika Andrew Wiles in Richard Taylor sta leta 1995 odpravila tesnobo, ki jo je pustil Fermat, in pokazala, da je imel prav, z veljavnim dokazom zadnjega izrekanja.

Vaje

Vaja 1

V točki (4, 16) določite naklon premice dotika do krivulje f (x) = x ²

Z nadomestilom v izrazu meja Fermat imamo:

Faktorji (x - 4) so ​​poenostavljeni

Pri ocenjevanju imate

M = 4 + 4 = 8

Vaja 2

S pomočjo Fermatove meje določite kritično točko izraza f (x) = x ² + 4x

Izvaja se strateško združevanje elementov, ki si prizadeva združiti pare XX ₀

Najmanj kvadratov je razvitih

Upoštevajte skupni faktor XX _{0 in ekstrakt}

Izraz je zdaj mogoče poenostaviti in nedoločnost razbiti

Na minimalnih točkah je znano, da je naklon tangentne črte enak nič. Na ta način lahko izenačimo najden izraz na nič in rešimo za vrednost X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Za pridobitev manjkajoče koordinate je potrebno le oceniti točko v izvirni funkciji

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Kritična točka je P (-2, -4).

Reference

1. Realna analiza. Zgodovinski pristop Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5. avg. 1999
2. Matematična kariera Pierra de Fermata, 1601-1665: Druga izdaja. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5. junij. 2018
3. Od Fermata do Minkowskega: Predavanja o teoriji števil in njenem zgodovinskem razvoju. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermatova zadnja teorema: Genetski uvod v teorijo algebričnih števil. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14. januar 2000
5. Fermatski dnevi 85: Matematika za optimizacijo. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1. januarja. 1986