PITGOREJSKE IDENTITETE: DEMONSTRACIJE, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Pitagorejska identiteta so vse trigonometrične enačbe, ki veljajo za katero koli vrednost kota in temeljijo na pitagorejski izrek. Najbolj znana pitagorejska identiteta je temeljna trigonometrična identiteta:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Slika 1. Pitagorovske trigonometrične identitete.

Naslednji po pomembnosti in uporabljam pitagorejsko identiteto tangenta in sekanta:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

In pitagorovska trigonometrična identiteta, ki vključuje kotangens in kosecant:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstracija

Trigonometrična razmerja sinus in kosinus sta prikazana na krogu polmera ena (1), znanem kot trigonometrični krog. Rečen krog ima svoje središče na izvoru koordinat O.

Koti se merijo s pozitivno polosno Xs, na primer kot α na sliki 2 (glej spodaj). Če je kot pozitiven, v nasprotni smeri urinega kazalca, če je negativni kot.

Vleče se žarek s poreklom O in kotom α, ki prestreže enotni krog v točki P. Točka P se pravokotno projicira na vodoravno os X, ki vzpostavi točko C. Podobno P se projicira pravokotno na navpično os Y, kar daje kraj za točko S.

Imamo pravi trikotnik OCP pri C.

Sinus in kosinus

Ne smemo pozabiti, da je sinus trigonometričnega razmerja opredeljen na pravem trikotniku, kot sledi:

Sinua kota trikotnika je razmerje ali količnik med krakom, nasproti kotom, in hipotenuzo trikotnika.

Na trikotnik OCP na sliki 2 bi bil videti takole:

Sen (α) = CP / OP

vendar CP = OS in OP = 1, tako da:

Sen (α) = OS

Kar pomeni, da ima projekcijsko OS na osi Y vrednost, ki je enaka sinusu prikazanega kota. Treba je opozoriti, da največja vrednost kota kota (+1) nastopi, ko je α = 90 °, in najmanjša (-1), ko je α = -90 ° ali α = 270 °.

Slika 2. Trigonometrični krog, ki prikazuje razmerje med pitagorejskim izrekom in temeljno trigonometrično identiteto. (Lastna izdelava)

Podobno je kosinus kota količnik med nogo, ki meji na kot, in hipotenuzo trikotnika.

Na trikotnik OCP na sliki 2 bi bil videti takole:

Cos (α) = OC / OP

vendar OP = 1, tako da:

Cos (α) = OC

To pomeni, da ima projekcija OC na osi X vrednost, ki je enaka sinusu prikazanega kota. Upoštevati je treba, da največja vrednost kosinusa (+1) nastopi, ko je α = 0º ali α = 360º, medtem ko je najmanjša vrednost kosinusa (-1), ko je α = 180º.

Temeljna identiteta

Za desni trikotnik OCP v C uporabimo pitagorejski izrek, ki pravi, da je vsota kvadrata nog enaka kvadratu hipotenuze:

CP ² + OC ² = OP ²

Toda že je bilo rečeno, da je CP = OS = Sen (α), da je OC = Cos (α) in da je OP = 1, zato je mogoče prejšnji izraz prepisati kot funkcijo sinusa in kosinusa kota:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Os tangente

Tako kot je os X v trigonometričnem krogu kosinusna os in Y os, sinusna os, na enak način je tangentna os (glej sliko 3), ki je natančno tangenta v smeri enotnega kroga v točki B koordinat (1, 0).

Če želite vedeti vrednost tangente kota, je kot izvlečen iz pozitivne pol-osi X, presek kota z osjo tangenta določa točko Q, dolžina odseka OQ je tangenta kota.

To je zato, ker je po definiciji tangenta kota α nasprotna kraka QB med sosednjo nogo OB. Se pravi, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Slika 3. Trigonometrični krog, ki prikazuje os tangente in pitagorejsko identiteto tangenta. (Lastna izdelava)

Pitagorejska identiteta tangente

Pitagorejska identiteta tangente lahko dokažemo z upoštevanjem pravega trikotnika OBQ pri B (slika 3). Če na ta trikotnik uporabimo pitagorejski izrek, imamo BQ ² + OB ² = OQ ² . Toda že je bilo rečeno, da imamo BQ = Tan (α), da je OB = 1 in da je OQ = Sec (α), tako da lahko v Pitagorejevi enakosti za pravi trikotnik OBQ nadomestimo:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Primer

Preverite, ali so pitagorejske identitete izpolnjene v pravem trikotniku nog AB = 4 in BC = 3.

Rešitev: Noge so znane, ugotoviti je treba hipotenuzo, to je:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Kot ∡BAC se imenuje α, ∡BAC = α. Zdaj se določijo trigonometrična razmerja:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Torej α = BC / AB = 3/4

Kotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Začne se s temeljno trigonometrično identiteto:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Zaključeno je, da je izpolnjen.

- Naslednja pitagorejska identiteta je tangenta:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

In sklenjeno je, da je identiteta tangente preverjena.

- Na podoben način kot kotangens:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Zaključeno je, da je tudi izpolnjen, s čimer je bila naloga preverjanja pitagorejskih identitet za dani trikotnik.

Rešene vaje

Dokažite naslednje identitete, ki temeljijo na definicijah trigonometričnih razmerij in pitagorejskih identitet.

Vaja 1

Dokažite, da je Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Rešitev: Na desni strani prepoznamo izjemen produkt množenja binoma na njegov konjugat, ki je, kot vemo, razlika kvadratov:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Nato izraz s sinusom na desni strani preide na levo stran s spremenjenim znakom:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Upoštevajoč, da je bila dosežena temeljna trigonometrična identiteta, zato je sklenjeno, da je dani izraz identiteta, torej velja za vsako vrednost x.

Vaja 2

Izhajajoč iz temeljne trigonometrične identitete in z uporabo definicij trigonometričnih razmerij prikazujte pitagorejsko identiteto sekanca.

Rešitev: Temeljna identiteta je:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Oba člana sta razdeljena z Sen ² (x), imenovalec pa je razdeljen na prvega člana:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Poenostavljeno je:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) je (ne-pitagorejska) identiteta, ki jo preverja sama definicija trigonometričnih razmerij. Enako se zgodi z naslednjo identiteto: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Končno morate:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Reference

1. Baldor J. (1973). Ravna in vesoljska geometrija z uvodom v trigonometrijo. Srednjeameriški kulturni. AC
2. CEA (2003). Elementi geometrije: z vajami in geometrijo kompasa. Univerza v Medellinu.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Uredništvo Patria.
4. IGER. (sf). Matematika prvi semester Tacaná. IGER.
5. Jr. Geometrija (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren in Hornsby. (2006). Matematika: Obrazložitev in aplikacije (deseta izdaja). Pearsonova vzgoja.
7. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Uredniški progreso.
8. Wikipedija. Trigonometrijske identitete in formule. Pridobljeno: es.wikipedia.com