HOMOGRAFSKA FUNKCIJA: KAKO GRAFICIRATI, REŠITI VAJE - MATEMATIKA - 2026

Funkcija homographic ali racionalna ng je vrsta matematične funkcije sestavljen iz polinoma delitev dveh delov. Upošteva obliko P (x) / Q (x), pri čemer Q (x) ne more imeti ničle oblike.

Na primer, izraz (2x - 1) / (x + 3) ustreza homografski funkciji s P (x) = 2x - 1 in Q (x) = x + 3.

Vir: pixabay.com

Homografske funkcije so odsek za preučevanje analitičnih funkcij, ki se obravnava iz grafičnega pristopa in iz preučevanja domene in obsega. To je posledica omejitev in razlogov, ki jih je treba uporabiti za vaše resolucije.

Kaj je homografska funkcija?

So racionalni izrazi ene same spremenljivke, čeprav to ne pomeni, da za dve ali več spremenljivk ni podobnega izraza, kjer bi bilo že v prisotnosti teles v vesolju, ki bi sledila enakim vzorcem kot homografska funkcija v ravnini.

V nekaterih primerih imajo resnične korenine, vendar se vedno ohranjajo navpični in vodoravni asimptoti, pa tudi intervali rasti in zmanjšanja. Običajno je prisoten le eden od teh trendov, vendar obstajajo izrazi, ki se lahko prikažejo tako v svojem razvoju.

Njegova domena je omejena s koreninami imenovalca, saj ni delitve na nič realnih števil.

Mešana homografska funkcija

Pri izračunu so zelo pogosti, zlasti diferencialni in integralni, zato je treba izpeljati in proti določenim formulam izvesti derivate. Spodaj je naštetih nekaj najpogostejših.

Še nti koren homografske funkcije

Izključite vse elemente domene, zaradi katerih je argument negativen. Korenine, ki so prisotne v vsakem polinomnem vrednosti nič, so ovrednotene.

Te vrednosti sprejema radikal, čeprav je treba upoštevati temeljno omejitev homografske funkcije. Kjer Q (x) ne more prejeti ničelnih vrednosti.

Rešitve intervalov morajo biti prestrežene:

Za dosego rešitve križišč lahko med drugim uporabimo tudi znakovno metodo.

Logaritem homografske funkcije

Prav tako je običajno, da med obema možnima kombinacijama najdete oba izraza v enem.

Kako graficirati homografsko funkcijo?

Homografske funkcije grafično ustrezajo hiperbolam v ravnini. Ki se prenašajo vodoravno in navpično glede na vrednosti, ki definirajo polinom.

Obstaja več elementov, ki jih moramo definirati, da oblikujemo racionalno ali homografsko funkcijo.

Posestvo

Prvi bodo korenine ali ničle funkcije P in Q.

Dosežene vrednosti bodo označene na osi grafa. Označevanje presečišč grafa z osjo.

Navpična asimptota

Ustrezajo navpičnim črtam, ki graf razmejijo glede na trende, ki jih predstavljajo. Dotaknejo se osi x pri vrednostih, zaradi katerih je imenovalec enak nič in jih graf homografske funkcije ne bo nikoli dotaknil.

Vodoravni asimptot

Predstavljen z vodoravno črto šiva, označuje mejo, za katero funkcija ne bo določena v natančni točki. Trendi bodo opaženi pred in po tej vrstici.

Za njegovo izračunavanje se moramo zateči k metodi, podobni metodi L'Hopitala, ki se uporablja za reševanje omejitev racionalnih funkcij, ki težijo v neskončnost. V števcu in imenovalcu funkcije moramo vzeti koeficiente največjih moči.

Na primer, naslednji izraz ima vodoravno asimptoto pri y = 2/1 = 2.

Interval rasti

Vrednosti ordinat bodo zaradi asimptotov označene na grafu. V primeru rasti se bo funkcija povečala, saj se elementi domene ocenjujejo od leve proti desni.

Interval zmanjšanja

Vrednosti ordinatov se bodo zmanjšale, ko se elementi domene ocenjujejo od leve proti desni.

Skoki, najdeni v vrednostih, ne bodo upoštevani, saj se povečujejo ali zmanjšujejo. To se zgodi, ko je graf blizu navpične ali vodoravne asimptote, kjer se vrednosti lahko razlikujejo od neskončnosti do negativne neskončnosti in obratno.

Y križišče

Z nastavitvijo vrednosti x na nič najdemo prestreznico z ordinatno osjo. To je zelo uporaben podatek za pridobitev grafa racionalne funkcije.

Primeri

Določite graf naslednjih izrazov, poiščite njihove korenine, navpične in vodoravne asimptote, intervale povečevanja in zmanjšanja ter presečišča z ordinatno osjo.

Vaja 1

Izraz nima korenin, saj ima v števcu konstantno vrednost. Omejitev, ki jo bomo uporabili, bo x različna od nič. Z vodoravno asimptoto pri y = 0 in navpično asimptoto pri x = 0. Ni točk presečišča z osjo y.

Opazimo, da ni intervalov rasti niti s skokom iz minus v plus neskončnost pri x = 0.

Interval zmanjšanja je

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Vaja 1.2

2 polinoma opazujemo kot v začetni definiciji, zato nadaljujemo po ustaljenih korakih.

Najdeni koren je x = 7/2, kar je posledica nastavitve funkcije, ki je enaka nič.

Navpična asimptota je pri x = - 4, kar je vrednost, izključena iz domene zaradi pogoja racionalne funkcije.

Vodoravni asimptota je pri y = 2, to je po delitvi 2/1 koeficienti spremenljivk stopnje 1.

Ima y-prestrezanje = - 7/4. Najdena vrednost po enačbi x z ničlo.

Funkcija nenehno raste, s skokom iz plusa v minus neskončnost okoli korena x = -4.

Njen interval rasti je (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Ko se vrednost x približa minus neskončnosti, funkcija sprejme vrednosti blizu 2. Enako se zgodi, ko se x približa več neskončnosti.

Izraz se približa plus neskončnosti, če ocenjujemo na - 4 z leve in minus neskončnost, če ocenjujemo na - 4 z desne strani.

Vaja 2

Prikaže se graf naslednje homografske funkcije:

Opišite njegovo vedenje, korenine, navpične in vodoravne asimptote, intervale rasti in zmanjšanja ter presečitve z ordinatno osjo.

Imenovalec izraza nam pove s faktorji razlike kvadratov (x + 1) (x - 1) vrednosti korenin. Na ta način lahko obe navpični asimptoti določimo kot:

x = -1 in x = 1

Vodoravna asimptota ustreza osi abscese, ker je največja moč v imenovalcu.

Njen edini koren je opredeljen s x = -1/3.

Izraz se vedno zmanjša od leve proti desni. Pri približevanju neskončnosti se približa ničli. Minus neskončnosti, ko se približate -1 z leve strani. Plus neskončnost, ko se približuje -1 z desne strani. Manj neskončnosti pri približevanju 1 z leve in več neskončnosti, ko se približujete 1 z desne strani.

Reference

1. Približevanje racionalnim funkcijam. Donald J. Newman. Ameriški matematični soc., 31. dec. 1979
2. Ortogonalne racionalne funkcije. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13. februar. 1999
3. Racionalno približevanje dejanskih funkcij. PP Petrušev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. mar. 2011
4. Algebarske funkcije. Gilbert Ames Bliss. Kurirska korporacija, 1. januarja 2004
5. Časopis Španskega matematičnega društva, zvezki 5-6. Špansko matematično društvo, Madrid 1916