DELNI ULOMKI: PRIMERI IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2026

Za delne frakcije so frakcije izvedene s pomočjo polinomov, v katerem se lahko imenovalec linearna ali kvadratna polinom in tudi se lahko dvigne na potenco. Včasih, ko imamo racionalne funkcije, je zelo koristno, da to funkcijo zapišemo kot vsoto delnih ulomkov ali preprostih ulomkov.

To je zato, ker lahko na ta način boljše manipuliramo s temi funkcijami, zlasti v primerih, ko je potrebno vključiti omenjeno aplikacijo. Racionalna funkcija je preprosto količnik med dvema polinomoma in lahko sta pravilna ali nepravilna.

Če je stopnja polinoma števca manjša od imenovalca, se imenuje racionalna pravilna funkcija; v nasprotnem primeru je znana kot nepravilna racionalna funkcija.

Opredelitev

Ko imamo nepravilno racionalno funkcijo, lahko polinom števca razdelimo na polinom imenovalca in tako na novo zapišemo ulomek p (x) / q (x), po algoritmu delitve kot t (x) + s (x) / q (x), kjer je t (x) polinom in s (x) / q (x) pravilno racionalno funkcijo.

Delni ulomek je vsaka pravilna funkcija polinomov, katerih imenovalec je oblike (ax + b) ⁿ ali (ax ² + bx + c) ⁿ , če polinomna os ² + bx + c nima pravih korenin in je n število naravni.

Za ponovno pisanje racionalne funkcije v delnih ulomkih je treba najprej imenovati imenovalec q (x) kot produkt linearnih in / ali kvadratnih faktorjev. Ko to storimo, se določijo delne frakcije, ki so odvisne od narave teh dejavnikov.

Zadeve

Ločeno obravnavamo več primerov.

Primer 1

Faktorji q (x) so vsi linearni in noben se ne ponovi. Se pravi:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Noben linearni faktor ni enak drugemu. Ko se zgodi ta primer, bomo napisali:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Kjer so A ₁ , A ₂ ,…, A _s konstante, ki jih najdemo.

Primer

Racionalno funkcijo želimo razgraditi na preproste ulomke:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Nadaljujemo po faktorju imenovalca, to je:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Nato:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Če uporabimo najmanj skupni večkratnik, lahko ugotovimo, da:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Želimo pridobiti vrednosti konstante A, B in C, ki jih lahko najdemo z nadomestitvijo korenin, ki odpovedo vsakega od izrazov. Če nadomestimo 0 za x, imamo:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Nadomestitev - 1 za x imamo:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Nadomestitev - 2 za x imamo:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Na ta način dobimo vrednosti A = –1/2, B = 2 in C = –3/2.

Obstaja še ena metoda za pridobivanje vrednosti A, B in C. Če je na desni strani enačbe x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x združujemo izraze, imamo:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Ker gre za enakost polinomov, imamo, da morajo biti koeficienti na levi strani enaki koeficientom na desni strani. Rezultat je naslednji sistem enačb:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Rešimo ta sistem enačb, dobimo rezultate A = –1/2, B = 2 in C = -3/2.

Na koncu pa z zamenjavo dobljenih vrednosti:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Primer 2

Faktorji q (x) so vsi linearni in nekateri se ponavljajo. Recimo, da je (ax + b) dejavnik, ki ponavlja "s" čase; potem temu faktorju ustreza vsota «s» delnih ulomkov.

A _s / (os + b) ^s + A _s-1 / (os + b) ^s-1 +… + A ₁ / (os + b).

Kjer so A _s , A _s-1 ,…, A ₁ konstante, ki jih je treba določiti. Z naslednjim primerom bomo pokazali, kako določiti te konstante.

Primer

Razkrojimo na delne frakcije:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Racionalno funkcijo zapišemo kot vsoto delnih ulomkov na naslednji način:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Nato:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Če nadomestimo 2 za x, imamo to:

7 = 4C, torej C = 7/4.

Če nadomestimo 0 za x, imamo:

- 1 = –8A ali A = 1/8.

Zamenjamo te vrednosti v prejšnji enačbi in razvijemo:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Koeficienti enačbe dobimo naslednji sistem enačb:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Reševanje sistema imamo:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Za to moramo:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

3. primer

Faktorji q (x) so linearni kvadratni, brez ponavljajočih se kvadratnih faktorjev. V tem primeru bo kvadratni faktor (os ² + bx + c) ustrezal delnemu ulomku (Ax + B) / (os ² + bx + c), pri čemer sta določeni konstanti A in B.

Naslednji primer prikazuje, kako naprej v tem primeru

Primer

Razstavite na preproste ulomke a (x + 1) / (x ³ - 1).

Najprej nadaljujemo s faktorjem imenovalca, kar nam daje rezultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Opazimo lahko, da je (x ² + x + 1) nenadomestljiv kvadratni polinom; to pomeni, da nima pravih korenin. Njegova razgradnja na delne frakcije bo naslednja:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Iz tega dobimo naslednjo enačbo:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Z enakostjo polinoma dobimo naslednji sistem:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Iz tega sistema imamo, da je A = 2/3, B = - 2/3 in C = 1/3. Nadomeščamo naslednje:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Primer 4

Končno je primer 4 tisti, v katerem so faktorji q (x) linearni in kvadratni, kjer se ponavljajo nekateri linearni kvadratni faktorji.

V tem primeru je, če je (os ² + bx + c) kvadratni faktor, ki ponavlja "s" čase, potem bo delni ulomek, ki ustreza faktorju (os ² + bx + c):

(A ₁ x + B) / (os ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (os ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (os ² + bx + c) ^s

Kjer so konstante, ki jih je treba določiti A _s , A _s-1 ,…, A in B _s , B _s-1 ,…, B.

Primer

Naslednjo racionalno funkcijo želimo razgraditi na delne ulomke:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Ker je x ² - 4x + 5 nenadomestljiv kvadratni faktor, imamo njegovo razgradnjo na delne ulomke:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x +) 5) ²

Poenostavitev in razvoj:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Iz zgoraj navedenega imamo naslednji sistem enačb:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Pri reševanju sistema nam ostane:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 in E = - 3/5.

Z zamenjavo dobljenih vrednosti imamo:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Prijave

Integralno računanje

Delne frakcije se uporabljajo predvsem za preučevanje integralnega računa. Tu je nekaj primerov, kako izvajati integrale z uporabo delnih frakcij.

Primer 1

Izračunati želimo integral:

Lahko vidimo, da je imenovalec q (x) = (t + 2) ² (t + 1) sestavljen iz linearnih faktorjev, kjer se eden od teh ponovi; Zato smo v primeru 2.

Moramo:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Enačbo ponovno napišemo in imamo:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Če je t = - 1, imamo:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Če je t = - 2, nam daje:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Potem, če je t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Nadomestitev vrednosti A in C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Iz zgornjega imamo, da je B = - 1.

Integral zapišemo kot:

Nadaljujemo z reševanjem z metodo substitucije:

To je rezultat:

Primer 2

Rešite naslednji integral:

V tem primeru lahko izračunamo aq (x) = x ² - 4, kot q (x) = (x - 2) (x + 2). Jasno smo v primeru 1. Zato:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Lahko se izrazi tudi kot:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Če je x = - 2, imamo:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

In če je x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Tako imamo, da je reševanje danega integral enakovredno reševanju:

Tako dobimo:

Primer 3

Rešite integral:

Imamo q (x) = 9x ⁴ + x ² , ki ga lahko razdelimo na q (x) = x ² (9x ² + 1).

Tokrat imamo ponavljajoč se linearni faktor in kvadratni faktor; torej smo v primeru 3.

Moramo:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Razvrščanje in uporaba enakih polinomov imamo:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Iz tega sistema enačb imamo:

D = - 9 in C = 0

Na ta način imamo:

Z reševanjem zgoraj navedenega imamo:

Zakon množičnega delovanja

Zanimiva uporaba delnih frakcij, ki se nanašajo na celotno računanje, najdemo v kemiji, natančneje v zakonu množičnega delovanja.

Recimo, da imamo dve snovi, A in B, ki se združita in tvorita snov C, tako da je izpeljanka količine C glede na čas sorazmerna s produktom količin A in B v danem trenutku.

Zakon množičnega ukrepanja lahko izrazimo na naslednji način:

V tem izrazu je α začetno število gramov, ki ustreza A in β začetno število gramov, ki ustreza B.

Nadalje r in s predstavljata število gramov A in B, ki se združita, da tvorita r + s gramov C. S svoje strani x predstavlja število gramov snovi C v času t, in K je konstanta sorazmernosti. Zgornjo enačbo lahko zapišemo kot:

Sprememba:

Imamo, da enačba postane:

Iz tega izraza lahko dobimo:

Če se lahko ≠b uporabijo delni ulomki za integracijo.

Primer

Vzemimo za primer snov C, ki izhaja iz kombiniranja snovi A z B tako, da je izpolnjen zakon o masi, kjer sta vrednosti a in b 8 in 6. Dajte enačbo, ki nam daje vrednost gramov C kot funkcijo časa.

Nadomestitev vrednosti v danem zakonu o množičnosti:

Pri ločevanju spremenljivk imamo:

Tukaj lahko 1 / (8 - x) (6 - x) zapišemo kot vsoto delnih ulomkov, kot sledi:

Tako je 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Če nadomestimo 6 za x, imamo B = 1/2; in nadomestimo 8 za x, imamo A = - 1/2.

Vključevanje z delnimi ulomki imamo:

Tako dobimo:

Diferencialne enačbe: logistična enačba

Druga aplikacija, ki jo lahko damo delnim ulomkom, je v logični diferencialni enačbi. V preprostih modelih imamo, da je stopnja rasti prebivalstva sorazmerna z njeno velikostjo; to pomeni:

Ta primer je idealen in velja za realističnega, dokler se ne zgodi, da razpoložljivi viri v sistemu ne zadostujejo za podporo prebivalstva.

V teh situacijah je najbolj smiselno razmišljati, da obstaja največja zmogljivost, ki jo bomo imenovali L, da lahko sistem vzdržuje in da je stopnja rasti sorazmerna z velikostjo prebivalstva, pomnoženo z razpoložljivo velikostjo. Ta argument vodi do naslednje diferencialne enačbe:

Ta izraz imenujemo logistična diferencialna enačba. Gre za ločljivo diferencialno enačbo, ki jo je mogoče rešiti z metodo delne frakcije frakcij.

Primer

Primer bi lahko navedli populacijo, ki raste po naslednji logistični diferencialni enačbi y '= 0.0004y (1000 - y), katere začetni podatki so 400. Želimo vedeti, kakšna je velikost populacije v času t = 2, kjer se meri t v letih.

Če pišemo y 'z Leibnizovo notacijo kot funkcijo, ki je odvisna od t, imamo:

Integral na levi strani je mogoče rešiti z uporabo metode delne frakcije:

Zadnjo enakost lahko na novo napišemo na naslednji način:

- Če zamenjamo y = 0, imamo, da je A enak 1/1000.

- Če zamenjamo y = 1000, imamo B enak 1/1000.

S temi vrednostmi je integral naslednji:

Rešitev je:

Uporaba začetnih podatkov:

Ko pospravimo in imamo:

Potem imamo to pri t = 2:

Za zaključek je po dveh letih število prebivalstva približno 597,37.

Reference

1. A, RA (2012). Matematika 1. Universidad de los Andes. Svet za publikacije.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (drugo). 801 Rešeni integrali. Nacionalna eksperimentalna univerza v Tačiri.
3. Leithold, L. (1992). Izračun z analitično geometrijo. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Izračun. Mehika: Pearson Education.
5. Saenz, J. (drugi). Integralno računanje. Hipotenuza.