FAKTORING: METODE IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2026

Razcep je metoda, s katero je polinom izražena kot multiplikatorjema, ki so lahko številke ali črke ali oboje. Dejavniki, ki so skupni izrazom, so razvrščeni in na ta način se polinom razgradi na več polinomov.

Ko se dejavniki množijo skupaj, je rezultat izvirni polinom. Faktoring je zelo uporabna metoda, če imate algebrske izraze, saj jih lahko pretvorimo v množenje več preprostih izrazov; na primer: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Obstajajo primeri, ko polinoma ni mogoče upoštevati, ker ni skupnega dejavnika med njegovimi izrazi; tako so ti algebrski izrazi deljivi samo s seboj in s 1. Na primer: x + y + z.

V algebričnem izrazu je skupni dejavnik največji skupni delitelj izrazov, ki ga sestavljajo.

Metode faktoringa

Obstaja več metod faktoringa, ki se uporabljajo odvisno od primera. Nekatere od teh so naslednje:

Faktoring po skupnem faktorju

Pri tej metodi se prepoznajo skupni dejavniki; torej tiste, ki se ponavljajo v izrazih. Potem se uporabi distribucijska lastnost, vzame se največji skupni delitelj in faktoring je končan.

Z drugimi besedami, identificiran je skupni dejavnik izraza in vsak izraz je razdeljen z njim; Tako dobljeni izrazi bodo pomnoženi z največjim skupnim deliteljem, ki bo izrazil faktorizacijo.

Primer 1

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Rešitev

Najprej najdete skupni faktor vsakega izraza, ki je v tem primeru b ² , nato pa izraze razdelite s skupnim faktorjem na naslednji način:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktorizacija se izrazi tako, da se skupni faktor pomnoži s posledičnimi izrazi:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Primer 2

Faktor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Rešitev

V tem primeru imamo dva dejavnika, ki se v vsakem izrazu ponavljata, ki sta "a" in "b", in ki se povečata na moč. Da bi jih razvrstili, se dva pojma najprej razdelita v dolgi obliki:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Vidimo, da se faktor "a" v drugem izrazu ponovi samo enkrat, faktor "b" pa se v tem ponovi dvakrat; tako v prvem mandatu ostaneta le 2, faktor "a" in faktor "b"; medtem ko v drugem mandatu ostanejo le 3.

Zato sta časa, ki se ponavljata "a" in "b", zapisana in pomnožena s faktorji, ki ostanejo od vsakega izraza, kot je prikazano na sliki:

Razvrščanje faktoringov

Ker ni v vseh primerih največji skupni delitelj polinoma jasno izražen, je treba narediti še druge korake, da lahko ponovno napišemo polinom in tako določimo faktor.

Eden od teh korakov je združiti izraze polinoma v več skupin in nato uporabiti metodo skupnega faktorja.

Primer 1

Faktor ac + bc + oglas + bd.

Rešitev

Obstajata dva dejavnika, pri katerih sta dva pogosta: v prvem izrazu je »c«, v drugem pa »d«. Na ta način sta dva pojma združena in ločena:

(ac + bc) + (ad + bd).

Zdaj je mogoče uporabiti metodo skupnega faktorja, če vsak pojem razdelimo na njegov skupni faktor in nato ta skupni faktor pomnožimo s posledičnimi izrazi, kot je ta:

(ac + bc) / c = a + b

(oglas + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Zdaj dobimo binom, ki je skupen za oba izraza. Če ga želite razložiti, se pomnoži s preostalimi faktorji; tako morate:

ac + bc + oglas + bd = (c + d) _* (a + b).

Inšpekcijski faktoring

Ta metoda se uporablja za faktriranje kvadratnih polinomov, imenovanih tudi trinomials; to je tiste, ki so strukturirane kot os ² ± bx + c, pri čemer je vrednost „a“ drugačna od 1. Ta metoda se uporablja tudi, kadar ima trinomial obliko x ² ± bx + c in vrednost „a“ = 1.

Primer 1

Faktor x ² + 5x + 6.

Rešitev

Imamo kvadratni trinomal oblike x ² ± bx + c. Če ga želite razložiti, morate najprej najti dve številki, ki ob množenju dobita vrednost «c» (torej 6) in da je njuna vsota enaka koeficientu «b», ki je 5. Te številke sta 2 in 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Na ta način je izraz poenostavljen takole:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Vsak izraz je upoštevan:

- Za (x ² + 2x) se vzame splošni izraz: x (x + 2)

- Za (3x + 6) = 3 (x + 2)

Tako je izraz:

x (x +2) + 3 (x +2).

Ker imamo skupni binom, za zmanjšanje izraza to pomnožimo s preostalimi izrazi in moramo:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Primer 2

Faktor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Rešitev

Imamo kvadratni trinomal oblike ax ² ± bx + cy, da ga množimo, pomnožimo celoten izraz s koeficientom x ² ; v tem primeru 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Zdaj moramo najti dve številki, ki, ko se pomnožita med seboj, dajeta vrednost "c" (kar je 36) in ki, ko seštejemo, dajejo koeficient izraza "a", ki je 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Na ta način je izraz prepisan ob upoštevanju, da je 4 ² a ² = 4a _* 4a. Zato distribucijska lastnost velja za vsak izraz:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Na koncu se izraz deli s koeficientom a ² ; to je 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Izraz je naslednji:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoring z opaznimi izdelki

Obstajajo primeri, ko polnost faktorjev z zgoraj navedenimi metodami postane zelo dolg proces.

Zato lahko s formulami izjemnih izdelkov razvijemo izraz in tako postane postopek enostavnejši. Med najbolj razširjenimi opaznimi izdelki so:

- Razlika dveh kvadratov: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Popolni kvadrat vsote: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Popolni kvadrat razlike: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Razlika dveh kock: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Vsota dveh kock: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Primer 1

Faktor (5 ² - x ² )

Rešitev

V tem primeru je razlika dveh kvadratov; zato velja izjemna formula izdelka:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Primer 2

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Rešitev

V tem primeru imate popoln kvadrat vsote, ker lahko določite dva izraza na kvadrat, izraz, ki ostane, pa je rezultat, če dva pomnožimo s kvadratnim korenom prvega izraza, s kvadratnim korenom drugega pojma.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Če izračunamo samo kvadratne korenine prvega in tretjega izraza:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Potem sta dva nastala izraza ločena z znakom operacije in celoten polinom je na kvadrat:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Primer 3

Faktor 27a ³ - b ³

Rešitev

Izraz predstavlja odštevanje, pri katerem sta dva faktorja na kocki. Za njihovo uporabo uporabimo formulo za pomemben produkt razlike kock, ki je:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Tako se za faktor vzame kocinska korenina vsakega pojma binoma in pomnoži s kvadratom prvega izraza, skupaj z zmnožkom prvega z drugim izrazom, plus drugim izrazom.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Upoštevanje Ruffinijevega pravila

Ta metoda se uporablja, če imate polinom stopnje več kot dva, da bi poenostavili izraz na več polinomov manjše stopnje.

Primer 1

Faktor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Rešitev

Najprej poiščemo številke, ki so delitelji 12, kar je neodvisen izraz; To so ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 in ± 12.

Nato se x nadomesti s temi vrednostmi, od najnižje do najvišje, in tako se določi, na katero izmed vrednosti bo delitev natančna; to pomeni, preostanek mora biti 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

In tako naprej za vsakega delitelja. V tem primeru sta najdena faktorja za x = -1 in x = 2.

Zdaj se uporablja Ruffinijeva metoda, po kateri bodo koeficienti izraza razdeljeni na najdene faktorje, tako da je delitev točna. Polinomni izrazi so razvrščeni od najvišjega do najnižjega eksponenta; v primeru, da v zaporedju manjka izraz z naslednjo stopnjo, se na njegovo mesto postavi 0.

Koeficienti so nameščeni v shemi, kot je prikazano na naslednji sliki.

Prvi koeficient se deli in pomnoži z delilnikom. V tem primeru je prvi delitelj -1, rezultat pa se postavi v naslednji stolpec. Nato se navpično doda vrednost koeficienta s tem dobljenim rezultatom in rezultat se postavi spodaj. Na ta način se postopek ponovi do zadnjega stolpca.

Potem se isti postopek znova ponovi, vendar z drugim deliteljem (kar je 2), ker lahko izraz še vedno poenostavimo.

Tako bo polinom za vsak pridobljeni koren imel izraz (x - a), kjer je "a" vrednost korena:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Po drugi strani je treba te izraze pomnožiti s preostalim Ruffinijevim pravilom 1: 1 in -6, ki sta dejavnika, ki predstavljata stopnjo. Na ta način se oblikuje izraz: (x ² + x - 6).

Pridobitev rezultata faktorizacije polinoma po Ruffinijevi metodi je:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Končno lahko polinom stopnje 2, ki se pojavi v prejšnjem izrazu, zapiše kot (x + 3) (x-2). Zato je končna faktorizacija:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Reference

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearsonova vzgoja.
2. J, V. (2014). Kako učiti otroke o faktoringu polinoma.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Osnovna matematika z aplikacijami.
4. Roelse, PL (1997). Linearne metode za polinomno faktorizacijo na končnih poljih: teorija in izvedbe. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Prstani in faktorizacija.