POLINOMNE ENAČBE (Z REŠENIMI VAJAMI) - MATEMATIKA - 2026

V polinomska enačbe so izjavo, ki postavlja enakost dveh izrazov ali članov, če je vsaj eden od pogojev, da bi se jih na vsaki strani enakosti polinomi P (x). Te enačbe so poimenovane glede na stopnjo njihovih spremenljivk.

Na splošno je enačba stavek, ki vzpostavlja enakost dveh izrazov, pri čemer sta v vsaj enem od teh neznane količine, ki jih imenujemo spremenljivke ali neznanke. Čeprav obstaja veliko vrst enačb, jih na splošno razvrščamo na dve vrsti: algebrske in transcendentne.

Polinomske enačbe vsebujejo le algebrske izraze, ki imajo lahko enačbo ali več neznank. Glede na eksponent (stopnjo), ki ga imajo, jih lahko razvrstimo v: prvo stopnjo (linearno), drugo stopnjo (kvadratno), tretjo stopnjo (kubično), četrto stopnjo (kvarta), stopnjo večjo ali enako pet in neracionalno.

značilnosti

Polinomne enačbe so izrazi, ki jih tvori enakost med dvema polinomoma; to je s končnimi vsotami množenja med neznanimi vrednostmi (spremenljivke) in fiksnimi števili (koeficienti), kjer lahko spremenljivke imajo eksponente, njihova vrednost pa je lahko celotno pozitivno število, vključno z ničlo.

Eksponenti določajo stopnjo ali vrsto enačbe. Izraz v izrazu z najvišjo eksponento bo predstavljal absolutno stopnjo polinoma.

Polinomne enačbe so znane tudi kot algebrske enačbe, njihovi koeficienti so lahko resnična ali zapletena števila, spremenljivke pa so neznana števila, predstavljena s črko, na primer: "x".

Če je rezultat zamenjave vrednosti spremenljivke "x" v P (x) enak nič (0), potem naj bi ta vrednost ustrezala enačbi (gre za rešitev) in se na splošno imenuje koren polinoma.

Pri razvoju polinomske enačbe želite najti vse korenine ali rešitve.

Vrste

Obstaja več vrst polinomnih enačb, ki se razlikujejo glede na število spremenljivk in tudi glede na stopnjo njihove eksponenta.

Tako je polinomna enačba - kjer je njen prvi izraz polinom, ki ima eno samo neznano, glede na to, da je njena stopnja lahko poljubno naravno število (n), drugi izraz pa nič -, lahko izrazimo na naslednji način:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Kje:

- a _n, a _n-1 in ₀ so realni koeficienti (števila).

- a _n se razlikuje od nič.

- eksponent n je pozitivno celo število, ki predstavlja stopnjo enačbe.

- x je spremenljivka ali neznanka, ki jo je treba iskati.

Absolutna ali večja stopnja polinomne enačbe je eksponent z največjo vrednostjo med vsemi, ki tvorijo polinom; tako so enačbe razvrščene kot:

Prvi razred

Polinomne enačbe prve stopnje, imenovane tudi linearne enačbe, so tiste, pri katerih je stopnja (največja eksponenta) enaka 1, polinom pa ima obliko P (x) = 0; y je sestavljen iz linearnega izraza in neodvisnega. Napisano je tako:

os + b = 0.

Kje:

- a in b sta realni številki in ≠ 0.

- os je linearni izraz.

- b je neodvisen izraz.

Na primer, enačba 13x - 18 = 4x.

Če želite rešiti linearne enačbe, je treba vse izraze, ki vsebujejo neznani x, prestaviti na eno stran enakosti, tiste, ki jih nimajo, pa premakniti na drugo stran, da bi ga rešili in dobili rešitev:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Tako ima dana enačba samo eno rešitev ali koren, to je x = 2.

Drugi razred

Polinomne enačbe druge stopnje, znane tudi kot kvadratne enačbe, so tiste, pri katerih je stopnja (največja eksponenta) enaka 2, polinom ima obliko P (x) = 0 in je sestavljen iz kvadratnega izraza , ena linearna in ena neodvisna. Izrazi se na naslednji način:

os ² + bx + c = 0.

Kje:

- a, b in c so realna števila in ≠ 0.

- os ² je kvadratni izraz, "a" pa koeficient kvadratnega izraza.

- bx je linearni izraz, "b" pa koeficient linearnega izraza.

- c je neodvisen izraz.

Topilo

Na splošno je rešitev za tovrstne enačbe podana s čiščenjem x iz enačbe, kar se imenuje ločljivost:

Tam se (b ² - 4ac) imenuje diskriminator enačbe in ta izraz določa število rešitev, ki jih lahko ima enačba:

- če je (b ² - 4ac) = 0, ima enačba dvojno raztopino; to pomeni, da bo imel dve enaki rešitvi.

- Če je (b ² - 4ac)> 0, bo imela enačba dve realni rešitvi.

- Če je (b ² - 4ac) <0, enačba nima rešitve (imela bo dve različni kompleksni rešitvi).

Na primer, imamo enačbo 4x ² + 10x - 6 = 0, da jo rešimo, najprej določimo izraze a, b in c, nato pa jo nadomestimo v formuli:

a = 4

b = 10

c = -6.

Obstajajo primeri, ko polinomne enačbe druge stopnje nimajo vseh treh pojmov, zato jih rešujemo drugače:

- V primeru, da kvadratne enačbe nimajo linearnega izraza (torej b = 0), bo enačba izražena kot os ² + c = 0. Če jo želite rešiti, rešite za x ² in v vsakega člana uporabite kvadratne korenine , ne pozabite, da je treba upoštevati dva možna znaka, da je neznano:

os ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Na primer, 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Kadar kvadratna enačba nima neodvisnega izraza (to je c = 0), bo enačba izražena kot ax ² + bx = 0. Če jo želimo rešiti, moramo v prvi član vzeti skupni faktor neznanega x; Ker je enačba enaka nič, je res, da bo vsaj eden od dejavnikov enak 0:

os ² + bx = 0.

x (os + b) = 0.

Tako morate:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Na primer: imamo enačbo 5x ² + 30x = 0. Najprej določimo faktor:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Nastaneta dva dejavnika, ki sta xy (5x + 30). Šteje se, da bo ena od teh enaka nič, druga pa rešena:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Najvišja ocena

Polinomne enačbe višje stopnje so tiste, ki gredo od tretje stopnje naprej, ki jih lahko izrazimo ali rešimo s splošno polinomno enačbo za katero koli stopnjo:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

To se uporablja, ker je enačba s stopnjo, večjo od dveh, rezultat faktoring polinoma; to pomeni, da se izrazi kot množenje polinomov ene ali več stopinj, vendar brez pravih korenin.

Rešitev teh vrst enačb je neposredna, saj bo množenje dveh faktorjev enako nič, če je kateri koli od faktorjev ničen (0); zato je treba rešiti vsako od najdenih polinomnih enačb, pri čemer je vsak njihov faktor enak nič.

Na primer, imamo enačbo tretje stopnje (kubično) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Če jo želite rešiti, morate slediti naslednjim korakom:

- Izrazi so združeni:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Člani razpadejo, da dobijo skupni dejavnik neznanega:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Na ta način dobimo dva faktorja, ki morata biti enaka nič:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Vidimo, da faktor (x ² + 4) = 0 ne bo imel resnične rešitve, medtem ko ima faktor (x + 1) = 0. Rešitev je torej:

(x + 1) = 0

x = -1.

Rešene vaje

Rešite naslednje enačbe:

Prva vaja

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Rešitev

V tem primeru je enačba izražena kot množenje polinomov; to je faktorji. Za reševanje mora biti vsak faktor enak nič:

- 2x ² + 5 = 0, nima rešitve.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Tako ima dana enačba dve rešitvi: x = 3 in x = -1.

Druga vaja

x ⁴ - 36 = 0.

Rešitev

Podali smo polinom, ki ga lahko zapišemo kot razliko kvadratov, da bi prišli do hitrejše rešitve. Tako je enačba:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Da bi našli rešitev enačb, sta oba faktorja enaka nič:

(x ² + 6) = 0, nima rešitve.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Tako ima začetna enačba dve rešitvi:

x = √6.

x = - √6.

Reference

1. Andres, T. (2010). Matematična olimpijada Tresure. Springer. New York.
2. Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Linearna algebra in projektivna geometrija. Kurirska korporacija.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
5. Castaño, HF (2005). Matematika pred izračunom. Univerza v Medellinu.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Priročnik za olimpijsko pripravo matematike. Univerza Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Višja algebra I
8. Massara, NC-L. (devetnajst devetdeset pet). Matematika 3.