DOMENA IN NASPROTJE FUNKCIJE (S PRIMERI) - MATEMATIKA - 2026

Pojma domene in nasprotne domene funkcije se običajno poučujejo na tečajih za računanje, ki se poučujejo na začetku univerzitetnih diplom.

Preden določite domeno in nasprotje, morate vedeti, kaj je funkcija. Funkcija f je zakon (pravilo) korespondence med elementi dveh nizov.

Nabor, iz katerega so izbrani elementi, se imenuje domena funkcije, nabor, ki jim ti elementi pošiljajo prek f, pa se imenuje protidomena.

V matematiki funkcijo z domeno A in številsko domeno B označujemo z izrazom f: A → B.

Prejšnji izraz pravi, da so elementi niza A poslani v skupino B po zakonu o korespondenci f.

Funkcija vsakemu elementu niza A dodeli en element niza B.

Domena in nasprotje

Glede na resnično funkcijo realne spremenljivke f (x), imamo, da bo domena funkcije vsa tista realna števila taka, da je ob ovrednotenju s f rezultat resnično število.

Nasprotno domena funkcije je množica resničnih števil R. Proti domeni se imenuje tudi množica prispevkov ali kodna funkcija funkcije f.

Ali je nasprotje funkcije vedno R?

Ne. Dokler funkcija ni podrobno proučena, se nabor resničnih števil R običajno vzame kot protidomena.

Toda ko je funkcija preučena, lahko primernejši niz vzamemo kot protidomena, ki bo podvrsto R.

Pravilni niz, ki je bil omenjen v prejšnjem odstavku, ustreza sliki funkcije.

Opredelitev slike ali obsega funkcije f se nanaša na vse vrednosti, ki izhajajo iz vrednotenja elementa domene v f.

Primeri

Naslednji primeri prikazujejo, kako izračunati domeno funkcije in njeno sliko.

Primer 1

Naj bo f realna funkcija, določena s f (x) = 2.

Domena f je vsa realna števila taka, da je rezultat, ko se oceni na f, rezultat resnično število. Protislovnost zaenkrat je enaka R.

Ker je podana funkcija konstantna (vedno enaka 2), ni pomembno, katero realno število izberemo, saj bo pri ocenjevanju v f rezultat vedno enak 2, kar je resnično število.

Zato je domena dane funkcije vsa realna števila; torej A = R.

Zdaj, ko je znano, da je rezultat funkcije vedno enak 2, imamo, da je slika funkcije le številka 2, zato lahko protitomero funkcije na novo določimo kot B = Img (f) = {dva}.

Zato je f: R → {2}.

Primer 2

Naj je g resnična funkcija, definirana z g (x) = √x.

Dokler slika g ni znana, je nasprotje g g B = R.

Pri tej funkciji je treba upoštevati, da so kvadratne korenine definirane samo za negativna števila; torej za številke, večje ali enake nič. Na primer, √-1 ni resnično število.

Zato mora biti domena funkcije g vsa števila večja ali enaka nič; torej x ≥ 0.

Zato je A = [0, + ∞).

Za izračun obsega je treba upoštevati, da bo vsak rezultat g (x), ker je kvadratni koren, vedno večji od nič ali enak nič. Se pravi B = [0, + ∞).

Za zaključek g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Primer 3

Če imamo funkcijo h (x) = 1 / (x-1), imamo, da ta funkcija ni definirana za x = 1, saj bi v imenovalcu dobili nič, deljenje z ničlo pa ni določeno.

Po drugi strani pa bo rezultat pri vsaki drugi realni vrednosti resnična številka. Domena je torej vsa resnična, razen ene; to je A = R \ {1}.

Na enak način lahko opazimo, da je edina vrednost, ki je rezultat ne more dobiti, 0, saj mora biti za ulomek enak nič.

Zato je slika funkcije množica vseh reals razen nič, zato je B = R \ {0} vzet kot nasprotje.

Za zaključek h: R \ {1} → R \ {0}.

Opažanja

Domena in slika ne smeta biti enaka, kot prikazujeta primera 1 in 3.

Kadar je funkcija vgrajena na kartezijanski ravnini, je domena predstavljena z osjo X, nasprotna domena ali območje pa z osjo Y.

Reference

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Prekalkulistična matematika. Dvorana Prentice PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: pristop k reševanju problemov (2, Ilustrirana ur.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra in trigonometrija z analitično geometrijo. Pearsonova vzgoja.
4. Larson, R. (2010). Prekalkulus (8 izd.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Ravna analitska geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Izračun (deveto izd.). Dvorana Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Diferencialno računanje z zgodnjimi transcendentnimi funkcijami za znanost in inženiring (druga izdaja, ed.). Hipotenuza.
9. Scott, Kalifornija (2009). Kartezijanska geometrija ravnin, del: Analitični koniki (1907) (ponatis). Vir strele.
10. Sullivan, M. (1997). Predkalkulacija. Pearsonova vzgoja.