NORMALNA PORAZDELITEV: FORMULA, ZNAČILNOSTI, PRIMER, VADBA - MATEMATIKA - 2026

Normalna porazdelitev ali porazdelitev Gaussova je verjetnostna porazdelitev v neprekinjenem spremenljivko, v katerem je funkcija gostote verjetnosti opisal eksponentno funkcijo kvadratne in negativnih trditev, ki povzroča obliki zvonca.

Ime normalne porazdelitve izhaja iz dejstva, da je ta porazdelitev tista, ki velja za največje število situacij, ko je v določeni skupini ali populaciji vključena neka stalna naključna spremenljivka.

Slika 1. Normalna porazdelitev N (x; μ, σ) in njegova verjetnostna gostota f (s; μ, σ). (Lastna izdelava)

Primeri, pri katerih se uporablja običajna porazdelitev, so: višina moških ali žensk, razlike v merilu neke fizične veličine ali merljivih psiholoških ali socioloških lastnostih, kot so intelektualni količnik ali potrošniške navade določenega izdelka.

Po drugi strani pa se imenuje Gaussova distribucija ali Gaussov zvon, ker je ta nemški matematični genij zaslužen za svoje odkritje za uporabo, ki jo je dal za opis statistične napake astronomskih meritev iz leta 1800.

Vendar pa je navedeno, da je to statistično razdelitev že leta 1733 objavil drug velik matematik francoskega porekla, na primer Abraham de Moivre.

Formula

Normalna porazdelitvena funkcija v neprekinjeni spremenljivki x s parametroma μ in σ označuje:

N (x; μ, σ)

in je izrecno napisano tako:

N (x; μ, σ) = ∫ _-∞ ^x f (s; μ, σ) ds

kjer je f (u; μ, σ) funkcija gostote verjetnosti:

f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s ² / (2σ ² ))

Konstanta, ki pomnoži eksponentno funkcijo v funkciji gostote verjetnosti, se imenuje normalizacijska konstanta in je bila izbrana tako, da:

N (+ ∞, μ, σ) = 1

Prejšnji izraz zagotavlja, da je verjetnost, da je naključna spremenljivka x med -∞ in + ∞, enaka 100% verjetnosti.

Parameter μ je aritmetična sredina neprekinjene naključne spremenljivke x in σ standardni odklon ali kvadratni koren variance iste iste spremenljivke. V primeru, da je μ = 0 in σ = 1, imamo običajno normalno porazdelitev ali običajno normalno porazdelitev:

N (x; μ = 0, σ = 1)

Značilnosti normalne porazdelitve

1- Če naključna statistična spremenljivka sledi normalni porazdelitvi gostote verjetnosti f (s; μ, σ), je večina podatkov združena okoli srednje vrednosti μ in se okoli nje razprši tako, da je malo več kot ⅔ podatkov je med μ - σ in μ + σ.

2- Standardni odklon σ je vedno pozitiven.

3- Oblika funkcije gostote f je podobna obliki zvona, zato to funkcijo pogosto imenujemo Gaussov zvonec ali Gaussova funkcija.

4- V Gaussovi porazdelitvi srednja vrednost, mediana in način sovpadata.

5- Točka pregiba funkcije gostote verjetnosti so natančno pri μ - σ in μ + σ.

6- Funkcija f je simetrična glede na os, ki poteka skozi njeno srednjo vrednost μ in ima asimptotično nič za x ⟶ + ∞ in x ⟶ -∞.

7- Višja kot je vrednost σ, večja je razpršenost, hrup ali razdalja podatkov okoli srednje vrednosti. Z drugimi besedami, višja σ oblika zvona je bolj odprta. Po drugi strani σ majhna pomeni, da so kocke blizu povprečja in da je oblika zvona bolj zaprta ali poudarjena.

8- Razdelitvena funkcija N (x; μ, σ) kaže na verjetnost, da je naključna spremenljivka manjša ali enaka x. Na primer, na sliki 1 (zgoraj) je verjetnost P, da je spremenljivka x manjša ali enaka 1,5, 84% in ustreza površini pod funkcijo gostote verjetnosti f (x; μ, σ) iz -∞ do x

Intervali zaupanja

9- Če podatki sledijo normalni porazdelitvi, je 68,26% teh med μ - σ in μ + σ.

10 - 95,44% podatkov, ki sledijo normalni porazdelitvi, je med μ - 2σ in μ + 2σ.

11 - 99,74% podatkov, ki sledijo normalni porazdelitvi, je med μ - 3σ in μ + 3σ.

12- Če naključni spremenljivki x sledi porazdelitev N (x; μ, σ), potem spremenljivka

z = (x - μ) / σ sledi standardni normalni porazdelitvi N (z; 0,1).

Spreminjanje spremenljivke x v z se imenuje standardizacija ali tipkanje in je zelo uporabna pri uporabi tabel standardne distribucije na podatke, ki sledijo nestandardni normalni distribuciji.

Uporaba običajne porazdelitve

Za uporabo normalne porazdelitve je potrebno opraviti izračun integral gostote verjetnosti, kar z analitičnega vidika ni enostavno in ni vedno računalniškega programa, ki omogoča njegovo numerično izračunavanje. V ta namen se uporabljajo tabele normiranih ali standardiziranih vrednosti, ki v primeru μ = 0 in σ = 1 niso nič drugega kot običajna porazdelitev.

Standardizirana običajna razpredelnica (del 1/2)

Standardizirana običajna razpredelnica (del 2/2)

Upoštevati je treba, da te tabele ne vključujejo negativnih vrednosti. Vendar pa lahko s pomočjo lastnosti simetrije funkcije Gaussove gostote verjetnosti dobimo ustrezne vrednosti. Spodaj rešena vaja kaže na uporabo tabele v teh primerih.

Primer

Recimo, da imate niz naključnih podatkov x, ki sledijo normalni porazdelitvi povprečne vrednosti 10 in standardnemu odklonu 2. Od vas se zahteva, da poiščete verjetnost, da:

a) Naključna spremenljivka x je manjša ali enaka 8.

b) je manjši ali enak 10.

c) da je spremenljivka x pod 12.

d) Verjetnost, da je vrednost x med 8 in 12.

Rešitev:

a) Če želite odgovoriti na prvo vprašanje, morate preprosto izračunati:

N (x; μ, σ)

Z x = 8, μ = 10 in σ = 2. Zavedamo se, da gre za integral, ki v elementarnih funkcijah nima analitične rešitve, vendar je rešitev izražen kot funkcija funkcije napake erf (x).

Po drugi strani obstaja možnost reševanja integral v numerični obliki, kar počnejo številni kalkulatorji, preglednice in računalniški programi, kot je GeoGebra. Naslednja slika prikazuje numerično rešitev, ki ustreza prvemu primeru:

Slika 2. Gostota verjetnosti f (x; μ, σ). Zasenčeno območje predstavlja P (x ≤ 8). (Lastna izdelava)

in odgovor je, da je verjetnost, da je x pod 8, naslednja:

P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587

b) V tem primeru skušamo najti verjetnost, da je naključna spremenljivka x pod srednjo vrednostjo, kar je v tem primeru vredno 10. Za odgovor ni potreben noben izračun, saj vemo, da je polovica podatkov spodaj povprečje, druga polovica pa nadpovprečno. Zato je odgovor:

P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5

c) Če želite odgovoriti na to vprašanje, moramo izračunati N (x = 12; μ = 10, σ = 2), kar lahko storimo s kalkulatorjem, ki ima statistične funkcije ali s programsko opremo, kot je GeoGebra:

Slika 3. Gostota verjetnosti f (x; μ, σ). Zasenčeno območje predstavlja P (x ≤ 12). (Lastna izdelava)

Odgovor na del c si lahko ogledate na sliki 3 in je:

P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.

d) Da bi našli verjetnost, da je naključna spremenljivka x med 8 in 12, lahko uporabimo rezultate delov a in c, kot sledi:

P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 = 68,26%.

Vaja rešena

Povprečna cena delnic podjetja je 25 dolarjev, standardni odklon pa znaša 4 USD. Določite verjetnost, da:

a) Strošek akcije nižji od 20 USD.

b) stroški, višji od 30 USD.

c) Cena je med 20 in 30 dolarji.

Za iskanje odgovorov uporabite standardne običajne tabele distribucije.

Rešitev:

Za uporabo tabel je potrebno preiti na normalizirano ali vtipkano spremenljivko z:

20 $ v normalizirani spremenljivki je enako z = ($ 20 - $ 25) / $ 4 = -5/4 = -1,25 in

30 $ v normalizirani spremenljivki je enako z = ($ 30 - $ 25) / $ 4 = +5/4 = +1,25.

a) V normalizirani spremenljivki je 20 $ enak -1,25, tabela pa nima negativnih vrednosti, zato postavimo vrednost +1,25, ki daje vrednost 0,8944.

Če od te vrednosti odštejemo 0,5, bo rezultat območje med 0 in 1,25, ki je, mimogrede, enako (po simetriji) območju med -1,25 in 0. Rezultat odštevanja je 0,8944 - 0,5 = 0,3944, kar je območje med -1,25 in 0.

Zanimivo pa je območje od -∞ do -1,25, kar bo 0,5 - 0,3944 = 0,1056. Zato je sklenjeno, da je verjetnost, da je zaloga nižja od 20 USD, 10,56%.

b) 30 $ v vtipkani spremenljivki z je 1,25. Za to vrednost tabela prikazuje številko 0,8944, kar ustreza območju od -∞ do +1,25. Območje med +1,25 in + ∞ je (1 - 0,8944) = 0,1056. Z drugimi besedami, verjetnost, da delnica stane več kot 30 dolarjev, je 10,56%.

c) Verjetnost, da stane cena od 20 do 30 USD, se izračuna na naslednji način:

100% -10,56% - 10,56% = 78,88%

Reference

1. Statistika in verjetnost. Normalna porazdelitev. Pridobljeno: projektdescartes.org
2. Geogebra. Klasična geogebra, verjetnostno računanje. Pridobljeno z geogebra.org
3. MathWorks. Gaussova porazdelitev. Pridobljeno: es.mathworks.com
4. Mendenhall, W. 1981. Statistika za management in ekonomijo. 3. oz. izdaja. Grupo Uredništvo Iberoamérica.
5. Stat Trek. Naučite se statistike. Poissonova distribucija. Pridobljeno: stattrek.com,
6. Triola, M. 2012. Osnovna statistika. 11. oz. Ed. Pearson Education.
7. Univerza v Vigu. Glavne neprekinjene distribucije. Obnovljeno iz: anapg.webs.uvigo.es
8. Wikipedija. Normalna porazdelitev. Pridobljeno: es.wikipedia.org