NEENAKOST TRIKOTNIKA: DOKAZ, PRIMERI, REŠENE VAJE - MATEMATIKA - 2026

Imenujemo jo neenake lastnosti trikotnika, ki izpolnjujejo dve realni številki, sestavljeni iz absolutne vrednosti njihove vsote, ki je vedno manjša ali enaka vsoti njunih absolutnih vrednosti. Ta lastnost je znana tudi kot neenakost Minkowski ali trikotna neenakost.

To lastnost števil imenujemo trikotna neenakost, ker se v trikotnih delih zgodi, da je dolžina ene strani vedno manjša ali enaka vsoti drugih dveh, čeprav ta neenakost ne velja vedno na območju trikotnikov.

Slika 1. Absolutna vrednost vsote dveh števil je vedno manjša ali enaka vsoti njihovih absolutnih vrednosti. (Pripravil R. Pérez)

Obstaja več dokazov trikotne neenakosti v realnih številkah, vendar bomo v tem primeru izbrali enega, ki temelji na lastnostih absolutne vrednosti in binomskega kvadrata.

Izrek: Za vsak par števil a in b, ki pripadata dejanskim številom, imamo:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstracija

Začnemo z obravnavanjem prvega člana neenakosti, ki bo na kvadrat:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (enačba 1)

V prejšnjem koraku smo uporabili lastnost, da je katero koli število kvadratov enako absolutni vrednosti navedenega kvadratnega števila, to je: -x- ^ 2 = x ^ 2. Uporabljena je bila tudi kvadratna binomna ekspanzija.

Vsako število x je manjše ali enako njegovi absolutni vrednosti. Če je število pozitivno, je enako, če pa je negativno, bo vedno manj kot pozitivno. V tem primeru je njegova absolutna vrednost, to je, da lahko navedemo, da je x ≤ - x -.

Izdelek (ab) je številka, zato velja, da (ab) ≤ - ab -. Ko uporabimo to lastnost (enačba 1), imamo:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (enačba 2)

Upoštevajoč, da je - ab - = - a - b - la (enačba 2) mogoče zapisati, kot sledi:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (enačba 3)

Ker pa smo že rekli, da je kvadrat števila enak absolutni vrednosti kvadrata, potem lahko enačbo 3 prepišemo na naslednji način:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (enačba 4)

V drugem članu neenakosti je prepoznan izjemen izdelek, ki pri uporabi vodi do:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (enačba 5)

V prejšnjem izrazu je treba opozoriti, da so vrednosti, ki jih je treba kvadratiti pri obeh članih neenakosti, pozitivne, zato se moramo tudi prepričati, da:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (enačba 6)

Prejšnji izraz je točno tisto, kar ste želeli pokazati.

Primeri

Nato bomo z več primeri preverili trikotno neenakost.

Primer 1

Vzamemo vrednost a = 2 in vrednost b = 5, torej obe pozitivni številki in preverimo, ali je neenakost zadovoljena ali ne.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Enakost je preverjena, zato je izpolnjen izrek trikotne neenakosti.

Primer 2

Naslednji vrednosti a = 2 in b = -5 izberemo, torej pozitivno število in drugo negativno, preverimo, ali je neenakost izpolnjena ali ne.

- 2 - 5 - ≤ -2- + - 5-

- -3 - ≤ -2- + - 5-

3 ≤ 2 + 5

Neenakost je zadovoljena, zato je bil potrjen izrek trikotne neenakosti.

Primer 3

Vzamemo vrednost a = -2 in vrednost b = 5, torej negativno število in drugo pozitivno, preverimo, ali je neenakost izpolnjena ali ne.

- -2 + 5 - ≤ - 2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Neenakost je preverjena, zato je izrek izpolnjen.

Primer 4

Izberemo naslednji vrednosti a = -2 in b = -5, torej obe negativni številki in preverimo, ali je neenakost izpolnjena ali ne.

- -2 - 5 - ≤ - 2- + - 5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Enakost je preverjena, zato je izpolnjen teorem o neenakosti Minkowski.

Primer 5

Vzamemo vrednost a = 0 in vrednost b = 5, torej število nič in drugo pozitivno, nato preverimo, ali je neenakost zadovoljena ali ne.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Izpolnjena je enakost, zato je bil preverjen izrek trikotne neenakosti.

Primer 6

Vzamemo vrednost a = 0 in vrednost b = -7, torej število nič in drugo pozitivno, nato preverimo, ali je neenakost zadovoljena ali ne.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Enakost je preverjena, zato je izrek trikotne neenakosti izpolnjen.

Rešene vaje

V naslednjih vajah geometrijsko predstavljajte neenakost trikotnika ali Minkowski neenakost za številki a in b.

Število a bo predstavljeno kot odsek na osi X, njegov izvor O sovpada z ničlo osi X, drugi konec odseka (v točki P) pa bo v pozitivni smeri (desno) od osi X, če je a > 0, če pa je <0, bo v negativni smeri osi X, toliko enot kaže njegova absolutna vrednost.

Podobno bo število b predstavljeno kot odsek, katerega izvor je v točki P. Druga skrajnost, torej točka Q bo desno od P, če je b pozitiven (b> 0) in točka Q bo -b - enote levo od P, če je b <0.

Vaja 1

Izračunajte neenakost trikotnika za a = 5 in b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, kjer je c = a + b.

Vaja 2

Izračunajte trikotno neenakost za a = 5 in b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kjer je c = a + b.

Vaja 3

Grafično prikažite neenakost trikotnika za a = -5 in b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kjer je c = a + b.

Vaja 4

Grafično zgradite trikotno neenakost za a = -5 in b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kjer je c = a + b.

Reference

1. E. Whitesitt. (1980) Boolova algebra in njene aplikacije. Uredništvo Podjetje Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elementi abstraktne analize. . Oddelek za matematiko. Univerzitetni kolidž Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematika in inženiring v računalništvu. Inštitut za računalniške znanosti in tehnologijo. Državni urad za standarde. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematika za računalništvo. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Izračun. Oddelek za matematiko in računalništvo in laboratorij AI, Massachussetts Institute of Technology.
6. Akademija Khan. Teorem neenakosti trikotnika. Pridobljeno: khanacademy.org
7. Wikipedija. Trikotna neenakost. Pridobljeno: es. wikipedia.com