ZAPOREDNI DERIVATI ​​(Z REŠENIMI VAJAMI) - MATEMATIKA - 2026

Pri zaporedni derivati so tisti, dobljeni iz ene funkcije po drugem derivata. Postopek za izračunavanje zaporednih izpeljank je naslednji: imamo funkcijo f, ki jo lahko izpeljemo in s tem pridobimo funkcijo izpeljanke f '. Spet lahko dobimo to izpeljanko f, pri čemer dobimo (f ')'.

Ta nova funkcija se imenuje drugi izpeljan; vsi derivati, izračunani iz drugega, so zaporedni; Ti, imenovani tudi višjega reda, imajo odlične aplikacije, kot so podajanje informacij o grafu graf funkcije, preskus drugega izvoda za relativne skrajnosti in določitev neskončnih nizov.

Opredelitev

Z uporabo Leibnizove notacije imamo izpeljanko funkcije "y" glede na "x" dy / dx. Za izražanje drugega izvoda "y" z uporabo Leibnizovega zapisa zapišemo na naslednji način:

Na splošno lahko izrazimo zaporedne izpeljanke, kot sledi Leibnizovim zapisom, kjer n predstavlja vrstni red izpeljanke.

Drugi uporabljeni zapiski so naslednji:

Nekaj ​​primerov, kjer lahko vidimo različne zapise, je:

Primer 1

Pridobite vse izpeljane funkcije f, definirane z:

Z običajnimi tehnikami izpeljave imamo izpeljanko f:

S ponovitvijo postopka lahko dobimo drugo izpeljano, tretjo izpeljano ipd.

Upoštevajte, da je četrta izpeljanka nič, derivat nič pa nič, zato imamo:

Primer 2

Izračunajte četrto izpeljanko naslednje funkcije:

Izvedba dane funkcije je rezultat:

Hitrost in pospešek

Ena izmed motivacij, ki je privedla do odkritja izpeljanke, je bilo iskanje definicije trenutne hitrosti. Uradna opredelitev je naslednja:

Naj je y = f (t) funkcija, katere graf opisuje pot delca v času t, potem je njegova hitrost v času t podana z:

Ko dobimo hitrost delca, lahko izračunamo takojšen pospešek, ki je opredeljen na naslednji način:

Trenutni pospešek delca, katerega pot je podana z y = f (t), je:

Primer 1

Delček se premika po črti glede na funkcijo položaja:

Kjer se "y" meri v metrih, "t" pa v sekundah.

- V katerem trenutku je njegova hitrost 0?

- V katerem trenutku je njen pospešek 0?

Pri izpeljavi pozicijske funkcije «in» imamo, da sta njena hitrost in pospešek podana z:

Za odgovor na prvo vprašanje je dovolj, da določimo, kdaj funkcija v postane nič; to je:

Nadaljujemo z naslednjim vprašanjem na analogen način:

Primer 2

Delček se giblje po črti v skladu z naslednjo enačbo gibanja:

Določite "t, y" in "v", ko je a = 0.

Ob zavedanju, da sta hitrost in pospešek podana s

Nadaljujemo s pridobivanjem in pridobivanjem:

Če dobimo a = 0, imamo:

Od kod lahko sklepamo, da je vrednost t za a enaka nič, je t = 1.

Potem, ko ocenjujemo funkcijo položaja in funkcijo hitrosti pri t = 1, imamo:

Prijave

Izrecna izpeljava

Sukcesivni derivati ​​lahko dobimo tudi z implicitno izpeljavo.

Primer

Glede na naslednjo elipso poiščite "y":

Izgovarjano implicitno glede na x, imamo:

Nato nam implicitno ponovno izpeljava glede na x daje:

Končno imamo:

Relativne skrajnosti

Druga uporaba, ki jo lahko damo izvodom drugega reda, je pri izračunu relativnih skrajnosti funkcije.

Kriterij prvega izvoda za lokalne skrajnosti nam pove, da če imamo neprekinjeno funkcijo f na intervalu (a, b) in obstaja c, ki temu omenjenemu intervalu pripada, tako da f 'izgine v c (to pomeni, da c je kritična točka) lahko pride do enega od treh primerov:

- Če je f (x)> 0 za kateri koli x, ki pripada (a, c) in f (x) <0 za x, ki pripada (c, b), potem je f (c) lokalni maksimum.

- Če je f (x) <0 za kateri koli x, ki pripada (a, c) in f (x)> 0 za x, ki pripada (c, b), je f (c) lokalni minimum.

- Če ima f´ (x) enak vpis (a, c) in v (c, b), to pomeni, da f (c) ni lokalna skrajnost.

Z uporabo kriterija druge izpeljave lahko vemo, ali je kritično število funkcije lokalni maksimum ali minimum, ne da bi morali videti, kakšen je znak funkcije v prej omenjenih intervalih.

Kriterij drugega premika nam pove, da če je f´ (c) = 0 in da je f´´ (x) neprekinjeno v (a, b), se zgodi, da če je f´´ (c)> 0, potem f (c) je lokalni minimum in če je f´ (c) <0, potem je f (c) lokalni maksimum.

Če je f´´ (c) = 0, ne moremo ničesar zaključiti.

Primer

Glede na funkcijo f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² poiščite relativne maksimume in minimale f s pomočjo kriterija drugega izvoda.

Najprej izračunamo f´ (x) in f´´ (x) in imamo:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Zdaj je f´ (x) = 0, če in samo, če je 4x (x + 2) (x - 1) = 0, in to se zgodi, ko je x = 0, x = 1 ali x = - 2.

Če želite ugotoviti, ali so kritične številke relativne skrajnosti, je dovolj, da ocenite na f´ in tako opazujete njen znak.

f´´ (0) = - 8, zato je f (0) lokalni maksimum.

f´´ (1) = 12, zato je f (1) lokalni minimum.

f´´ (- 2) = 24, zato je f (- 2) lokalni minimum.

Taylor serija

Naj bo f funkcija, definirana na naslednji način:

Ta funkcija ima polmer konvergence R> 0 in ima izpeljanke vseh vrst v (-R, R). Naslednji derivati ​​f nam dajo:

Če dobimo x = 0, lahko dobimo vrednosti c _n kot funkcijo njihovih izpeljank na naslednji način:

Če vzamemo an = 0 kot funkcijo f (to je f ^ 0 = f), lahko funkcijo ponovno zapišemo na naslednji način:

Zdaj pa razmislimo o funkciji kot vrsti moči pri x = a:

Če izvedemo analizo, ki je analogna prejšnji, bi imeli funkcijo, da lahko funkcijo f zapišemo kot:

Te serije so znane kot Taylorjeve serije od f do a. Kadar je a = 0, imamo poseben primer, imenovan serija Maclaurin. Ta vrsta serij ima velik matematični pomen zlasti pri numerični analizi, saj lahko s pomočjo njih določimo funkcije v računalnikih, kot so e ^x , sin (x) in cos (x).

Primer

Pridobite Maclaurinovo serijo za e ^x .

Upoštevajte, da če je f (x) = e ^x , potem f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x in f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, torej je njegov Maclaurinov niz:

Reference

1. Frank Ayres, J., Mendelson, E. (drugo). Izračun 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Izračun z analitično geometrijo. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Izračun. Mehika: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferencialno računanje. Hipotenuza.
5. Saenz, J. (drugi). Integralno računanje. Hipotenuza.