DELNI IZPELJANKI: ZAPIS, PRIMERI IN REŠENE VAJE - MATEMATIKA - 2026

V parcialni odvodi za funkcijo več spremenljivk so tiste, ki določajo hitrost spreminjanja funkcije, kadar je ena od spremenljivk za spremembo neskončno, medtem ko so ostale spremenljivke ostanejo nespremenjene.

Da bi bila ideja bolj konkretna, predpostavimo primer funkcije dveh spremenljivk: z = f (x, y). Delni derivat funkcije f glede na spremenljivko x se izračuna kot navadni derivat glede na x, pri čemer spremenljivka y vzame, kot da bi bila konstantna.

Slika 1. Funkcija f (x, y) in njeni delni derivati ​​∂ _x f y ∂ _y f v točki P. (izdelal R. Pérez z geogebra)

Delni zapis izpeljanka

Delno delovanje izpeljane funkcije f (x, y) na spremenljivki x je označeno na kateri koli od naslednjih načinov:

V delnih izpeljankah se uporablja simbol ∂ (nekakšna zaokrožena črka d, imenovana tudi Jacobijev d), v nasprotju z navadnim izvodnikom za funkcije posamezne spremenljivke, v kateri se črka d uporablja za izpeljanko.

Na splošno delni izvod multivariatne funkcije glede na eno od njenih spremenljivk povzroči novo funkcijo v istih spremenljivkah prvotne funkcije:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Izračun in pomen delne izpeljanke

Za določitev hitrosti spremembe ali naklona funkcije za določeno točko (x = a, y = b) v smeri, vzporedni z osjo X:

1 - Izračuna se funkcija ∂ _x f (x, y) = g (x, y), pri čemer običajni derivat v spremenljivki x ostane in spremenljivka y ostane fiksna ali konstantna.

2- Nato je vrednost točke x = a in y = b nadomeščena, pri čemer želimo vedeti hitrost spremembe funkcije v smeri x:

{Nagib v smeri x v točki (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Za izračun hitrosti spremembe smeri y v koordinatni točki (a, b) najprej izračunajte ∂ _in f (x, y) = h (x, y).

4- Nato je točka (x = a, y = b) v prejšnjem rezultatu substituirana, da dobimo:

{Nagib v smeri y v točki (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Primeri delnih derivatov

Nekaj ​​primerov delnih izvedenih finančnih instrumentov je:

Primer 1

Glede na funkcijo:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Poiščite delne izpeljane funkcije f glede na spremenljivko x in spremenljivko y.

Rešitev:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Upoštevajte, da je za izračunavanje delnega izvoda funkcije f glede na spremenljivko x izveden navadni izvod glede na x, vendar je bila spremenljivka y sprejeta, kot da bi bila konstantna. Podobno je bilo pri izračunavanju delnega izvoda f glede na y spremenljivka x vzeta kot konstanta.

Funkcija f (x, y) je površina, ki jo imenujemo paraboloid, prikazan na sliki 1, v oker barvi.

Primer 2

Poiščite hitrost spremembe (ali naklona) funkcije f (x, y) iz primera 1 v smeri osi X in osi Y za točko (x = 1, y = 2).

Rešitev: Če želite najti pobočja v smeri x in y v dani točki, preprosto zamenjajte vrednosti točke v funkcijo ∂ _x f (x, y) in v funkcijo ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _in f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Slika 1 prikazuje tangentno črto (v rdeči barvi) krivulje, določeno s presečiščem funkcije f (x, y) z ravnino y = 2, naklon te premice je -2. Slika 1 prikazuje tudi tangentno črto (v zeleni barvi) krivulje, ki določa presečišče funkcije f z ravnino x = 1; Ta črta ima naklon -4.

Vaje

Vaja 1

Konični kozarec v danem času vsebuje vodo, tako da ima površina vode polmer r in globino h. Toda kozarec ima na dnu majhno luknjo, skozi katero se izgublja voda s hitrostjo C kubičnih centimetrov na sekundo. Določite hitrost spuščanja z vodne površine v centimetrih na sekundo.

Rešitev:

Najprej je treba zapomniti, da je količina vode v danem trenutku:

Glasnost je funkcija dveh spremenljivk, polmera r in globine h: V (r, h).

Ko se prostornina spremeni za neskončno majhno količino dV, se spremeni tudi polmer r vodne površine in globina h vode glede na naslednje razmerje:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Nadaljujemo z izračunom delnih izpeljank V glede na r in h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Poleg tega polmer r in globina h izpolnjujeta naslednje razmerje:

Razdelitev obeh članov na časovno razliko dt daje:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Toda dV / dt je količina izgubljene vode na enoto časa, za katero je znano, da je C centimetrov na sekundo, medtem ko je dh / dt hitrost spuščanja proste površine vode, ki se bo imenovala v. To pomeni, da se vodna površina v danem trenutku spušča s hitrostjo v (v cm / s), ki jo poda:

v = C / (π r ^ 2).

Kot numerično uporabo predpostavimo, da je r = 3 cm, h = 4 cm, hitrost puščanja C pa 3 cm ^ 3 / s. Potem je hitrost spuščanja površine v tistem trenutku:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Vaja 2

Teorem Clairaut-Schwarz pravi, da če je funkcija neprekinjena v svojih neodvisnih spremenljivkah in so tudi njeni delni derivati ​​glede na neodvisne spremenljivke neprekinjeni, potem lahko mešane derivate drugega reda zamenjamo. Preverite to izrek za funkcijo

f (x, y) = x ^ 2 y, torej mora biti res, da je f _xy f = ∂ _yx f.

Rešitev:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), medtem ko je ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Dokazano je, da velja Schwarzov izrek, saj sta funkcija f in njeni delni izpeljani zvezni za vsa realna števila.

Reference

1. Frank Ayres, J., Mendelson, E. (2000). Izračun 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Izračun z analitično geometrijo. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Izračun. Mehika: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferencialno računanje. Hipotenuza.
5. Saenz, J. (2006). Integralno računanje. Hipotenuza.
6. Wikipedija. Delni derivat. Pridobljeno: es.wikipedia.com