ALGEBRIČNI DERIVATI ​​(S PRIMERI) - MATEMATIKA - 2026

V algebrske derivati so sestavljeni iz preučevanjem derivat v primeru algebrskih funkcij. Začetek pojma izpeljanke sega v staro Grčijo. Razvoj tega pojma je bil motiviran s potrebo po reševanju dveh pomembnih problemov, enega iz fizike in drugega iz matematike.

V fiziki izpeljanka rešuje problem določitve trenutne hitrosti premikajočega se predmeta. V matematiki vam omogoča, da v dani točki najdete tangentno črto do krivulje.

Čeprav je res veliko več težav, ki jih rešujemo z uporabo izpeljanke, pa tudi z njenimi posplošitvami, rezultati, ki so nastali po uvedbi njenega koncepta.

Pionirja diferencialnega računa sta Newton in Leibniz. Preden damo formalno definicijo, bomo idejo, ki se je zastavljala, razvili z matematičnega in fizičnega vidika.

Izpeljanka kot naklon tangentne črte na krivuljo

Predpostavimo, da je graf funkcije y = f (x) neprekinjen graf (brez vrhov ali vrhov ali vrzeli) in naj bo A = (a, f (a)) fiksna točka na njem. Najti moramo enačbo premice premice z grafom funkcije f v točki A.

Vzemimo katero koli drugo točko P = (x, f (x)) na grafu, blizu točke A, in narišemo sekantno črto, ki gre skozi A in P. Sekantna črta je črta, ki graf krivulje preseka za eno ali več točk.

Za pridobitev želene tangentne črte moramo izračunati le naklon, saj na črti že imamo točko: točka A.

Če premaknemo točko P vzdolž grafa in se približamo točki A, se bo prej omenjena sekantna črta približala tangentni liniji, ki jo želimo najti. Ob omejitvi, ko se "P nagiba k A", bosta obe vrstici sovpadali, torej tudi njihova pobočja.

Nagib sekantne črte je določen s

Reči, da se P približa A, je enako kot reči, da se "x" približa "a". Tako bo naklon tangentne črte na grafu f v točki A enak:

Zgornji izraz je označen s f '(a) in je opredeljen kot izpeljanka funkcije f v točki "a". Tako vidimo, da je analitično izpeljanka funkcije v neki točki meja, geometrično pa je naklon premice, ki je tangenta na grafu funkcije v točki.

Zdaj bomo na to predstavo gledali s stališča fizike. Dosegli bomo enak izraz prejšnje meje, čeprav po drugačni poti, s čimer bomo dobili soglasnost definicije.

Izpeljanka kot trenutna hitrost premikajočega se predmeta

Oglejmo si kratek primer, kaj pomeni trenutna hitrost. Ko je na primer rečeno, da je avtomobil do cilja dosegel hitrost 100 km na uro, kar pomeni, da je v uri prepotoval 100 km.

To ne pomeni nujno, da je bil avtomobil v celotni uri vedno dolžine 100 km, merilnik hitrosti je lahko v nekaterih trenutkih označil manj ali več. Če ste se morali ustaviti na semaforju, je bila vaša hitrost takrat 0 km. Vendar je bila po uri pot 100 km.

To je znana kot povprečna hitrost in je izražena s količnikom prevožene razdalje in pretečenim časom, kot smo pravkar videli. Po drugi strani je trenutna hitrost tista, ki v danem trenutku (času) označi iglo merilnika hitrosti avtomobila.

Oglejmo si to zdaj bolj na splošno. Predpostavimo, da se predmet premika vzdolž črte in da je ta premik predstavljen z enačbo s = f (t), kjer spremenljivka t meri čas, spremenljivka s pa premik, ob upoštevanju začetka pri trenutka t = 0, takrat je tudi nič, to je f (0) = 0.

Ta funkcija f (t) je znana kot pozicijska funkcija.

Iskal je izraz trenutne hitrosti predmeta v fiksnem trenutku "a". Pri tej hitrosti ga bomo označili z V (a).

Naj bo vsak trenutek blizu trenutka "a". V časovnem intervalu med "a" in "t" se sprememba položaja predmeta poda s f (t) -f (a).

Povprečna hitrost v tem časovnem intervalu je:

Kar je približek trenutne hitrosti V (a). Ta približek bo boljši, ko se t približa "a". Tako je dr.

Upoštevajte, da je ta izraz enak izrazu, ki smo ga dobili v prejšnjem primeru, vendar z druge perspektive. To je tisto, kar je znano kot izpeljanka funkcije f v točki "a" in je označeno s f '(a), kot je navedeno zgoraj.

Upoštevajte, da pri spremembi h = xa velja, da kadar "x" teži k "a", "h" teži na 0, prejšnja meja pa se pretvori (enakovredno) v:

Oba izraza sta enakovredna, včasih pa je bolje, da uporabite enega namesto drugega, odvisno od primera.

Izpeljanka funkcije f v kateri koli točki "x", ki pripada njeni domeni, je potem definirana na bolj splošen način kot

Najpogostejši zapis za predstavljanje izpeljanke funkcije y = f (x) je tisti, ki smo ga pravkar videli (f 'ali y'). Druga široko uporabljena notacija pa je Leibnizova notacija, ki je predstavljena kot kateri koli od naslednjih izrazov:

Ker je derivat v bistvu meja, lahko obstaja ali ne obstaja, saj omejitve ne obstajajo vedno. Če obstaja, naj bi bila zadevna funkcija v dani točki različna.

Algebrska funkcija

Algebrska funkcija je kombinacija polinomov s seštevanjem, odštevanjem, produkti, količniki, močmi in radikali.

Polinom je izraz oblike

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + … + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Če je n naravno število in so vsi a _i , z i = 0,1, …, n, so racionalna števila in _n ≠ 0. V tem primeru naj bi bila stopnja tega polinoma n.

Sledijo primeri algebrskih funkcij:

Eksponentne, logaritmične in trigonometrične funkcije tukaj niso vključene. Pravila izpeljave, ki jih bomo videli v nadaljevanju, veljajo za funkcije na splošno, vendar se bomo omejili in jih uporabili v primeru algebričnih funkcij.

Pravila za obvoz

Izvod konstante

Navaja, da je izvod konstante enak nič. To pomeni, če je f (x) = c, potem je f '(x) = 0. Na primer, izpeljanka konstantne funkcije 2 je enaka 0.

Izvedba moči

Če je f (x) = x ⁿ , potem je f '(x) = nx ^n-1 . Na primer, derivat x ³ je 3x ² . Posledično dobimo, da je izpeljanka identitetne funkcije f (x) = x f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Drug primer je naslednji: pustimo f (x) = 1 / x ² , potem f (x) = x ^-2 in f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Ta lastnost je tudi veljavna korenina, saj so korenine racionalne moči in lahko zgoraj navedeno uporabimo tudi v tem primeru. Na primer, izpeljanka kvadratnega korena je podana s

Izvedba seštevanja in odštevanja

Če sta f in g različni funkciji v x, potem je vsota f + g tudi diferencirana in se prepriča, da je (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Podobno imamo to (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Z drugimi besedami, izpeljanka vsote (odštevanje) je vsota (ali odštevanje) izpeljank.

Primer

Če je h (x) = x ² + x-1, potem

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Izhaja iz izdelka

Če sta f in g različni funkciji v x, potem je produkt fg različen tudi v x in res je, da

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Posledično sledi, da če je c konstanta in je f razlikovalna funkcija v x, potem je cf tudi v x in (cf) '(x) = cf' (X).

Primer

Če je f (x) = 3x (x ² +1), potem

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Izvedeni količnik

Če sta f in g različna pri x in g (x) ≠ 0, potem je f / g tudi pri x različna in res je, da

Primer: če je h (x) = x ³ / (x ² -5x), potem

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Pravilo verige

To pravilo omogoča izpeljavo sestave funkcij. Navedite naslednje: če je y = f (u) različen pri u, je y = g (x) različen pri x, potem je sestavljena funkcija f (g (x)) različna pri x in res je, da je '= f '(g (x)) g' (x).

To pomeni, da je izpeljanka sestavljene funkcije produkt zunanje funkcije (zunanji derivat) in izpeljanke notranje funkcije (notranje izpeljanke).

Primer

Če je f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , potem

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Obstajajo tudi rezultati za izračun izpeljanke inverzne funkcije, pa tudi posplošitev na izpeljane višjega reda. Vloge so obsežne. Med njimi izstopata njegova uporabnost pri težavah z optimizacijo ter največ in minimalne funkcije.

Reference

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferencialno računanje. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Izračun 4000. Uredništvo Progreso.
3. Castaño, HF (2005). Matematika pred izračunom. Univerza v Medellinu.
4. Eduardo, NA (2003). Uvod v račun. Izdaje praga
5. Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MAT. Uvod v izračun. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Izračun. Pearsonova vzgoja.
7. Saenz, J. (2005). Diferencialno računanje (druga izdaja). Barquisimeto: Hipotenuza.
8. Thomas, GB, in Weir, MD (2006). Izračun: več spremenljivk. Pearsonova vzgoja.