CILINDRIČNE KOORDINATE: SISTEM, SPREMEMBA IN VAJE - MATEMATIKA - 2026

V polarnih koordinatah uporabljamo za iskanje točk v tridimenzionalnem prostoru in je sestavljen iz radialno koordinatni ρ, φ azimutno koordinata in Z koordinata višine.

Točka P, ki se nahaja v prostoru, se pravokotno projicira na ravnino XY, kar povzroči točko P 'v tej ravnini. Razdalja od začetka do točke P 'določa koordinato ρ, medtem ko je kot med osjo X in žarom OP' koordinata φ. Končno je koordinata z pravokotno projekcijo točke P na os Z. (glej sliko 1).

Slika 1. Točka P valjastih koordinat (ρ, φ, z). (Lastna izdelava)

Radialna koordinata ρ je vedno pozitivna, azimutna koordinata φ se spreminja od ničelnih radianov do dveh pi radianov, medtem ko lahko z koordinata z resnično vrednostjo:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Sprememba koordinat

Kartezijeve koordinate (x, y, z) točke P je razmeroma enostavno dobiti iz njenih cilindričnih koordinat (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Možno pa je dobiti tudi polarne koordinate (ρ, φ, z), izhajajoč iz poznavanja kartezijanskih koordinat (x, y, z) točke P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arctan (y / x)

z = z

Vektorska osnova v cilindričnih koordinatah

Določena je osnova valja vektorjev valjaste enote Uρ , Uφ , Uz .

Vektor Uρ je tangenta na premico φ = ctte in z = ctte (usmerjena radialno navzven), vektor Uφ je tangenta na premico ρ = ctte in z = ctte in na koncu ima Uz isto smer osi Z.

Slika 2. Cilindrična koordinatna osnova. (wikimedia commons)

V bazi valjaste enote je pozicijski vektor r točke P zapisan vektorsko takole:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Po drugi strani pa je neskončno najmanjši premik d r od točke P izražen tako:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Podobno je neskončno najmanjši element prostornine dV v cilindričnih koordinatah:

dV = ρ dρ dφ dz

Primeri

Obstaja nešteto primerov uporabe in uporabe valjastih koordinat. Na primer v kartografiji se uporablja cilindrična projekcija, ki temelji natančno na teh koordinatah. Primerov je več:

Primer 1

Cilindrične koordinate imajo aplikacije v tehnologiji. Kot primer imamo CHS (Cylinder-Head-Sector) sistem lokacije podatkov na trdem disku, ki je dejansko sestavljen iz več diskov:

- Jeklenka ali tir ustreza koordinati ρ.

- Sektor ustreza položaju φ diska, ki se vrti z veliko kotno hitrostjo.

- Glava ustreza položaju z na čitalni glavi z.

Vsak bajt informacij ima natančen naslov v cilindričnih koordinatah (C, S, H).

Slika 2. Lokacija informacij v valjastih koordinatah na sistemu trdega diska. (wikimedia commons)

Primer 2

Gradbeni žerjavi pritrdijo položaj tovora v cilindričnih koordinatah. Vodoravni položaj je določen z razdaljo do osi ali puščice žerjava ρ in z kotnim položajem φ glede na neko referenčno os. Navpični položaj bremena določa koordinata z višine z.

Slika 3. Položaj bremena na gradbenem žerjavi je mogoče enostavno izraziti v cilindričnih koordinatah. (slika pixabay - pripombe R. Pérez)

Rešene vaje

Vaja 1

Obstajajo točke P1 s cilindričnimi koordinatami (3, 120º, -4) in točka P2 s cilindričnimi koordinatami (2, 90º, 5). Poiščite evklidsko razdaljo med tema dvema točkama.

Rešitev: Najprej poiščemo kartezijanske koordinate vsake točke po zgoraj navedeni formuli.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Evklidska razdalja med P1 in P2 je:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Vaja 2

Točka P ima kartezijanske koordinate (-3, 4, 2). Poiščite ustrezne cilindrične koordinate.

Rešitev: Nadaljujemo z iskanjem valjastih koordinat z uporabo zgornjih razmerij:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Ne smemo pozabiti, da je funkcija arktangenta večvrednostna s periodičnostjo 180 °. Prav tako mora kot φ pripadati drug kvadrant, saj sta koordinate x in y točke P v tem kvadrantu. To je razlog, da smo rezultatu φ dodali 180º.

Vaja 3

V valjastih koordinatah in kartezijanskih izrazih izrazite površino valja z polmerom 2 in katere os sovpada z osjo Z.

Rešitev: Razume se, da ima valj neskončen podaljšek v smeri z, zato je enačba omenjene površine v cilindričnih koordinatah:

ρ = 2

Za pridobitev kartezijanske enačbe valjaste površine se vzame kvadrat obeh članov prejšnje enačbe:

ρ ² = 4

Pomnožimo oba člana prejšnje enakosti na 1 in uporabimo temeljno trigonometrično identiteto (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Oklepaji so razviti za pridobitev:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Spomnimo se, da so prve oklepaje (ρ sin (φ)) y koordinata točke v polarnih koordinatah, oklepaji (ρ cos (φ)) pa koordinata x, tako da imamo enačbo cilindra v koordinatah Kartuzija:

y ² + x ² = 2 ²

Zgornje enačbe ne smemo zamenjevati z obodom v ravnini XY, saj bi v tem primeru izgledalo takole: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Vaja 4

Valj polmera R = 1 m in višine H = 1 m se njegova masa razdeli radialno po naslednji enačbi D (ρ) = C (1 - ρ / R), kjer je C konstantna vrednost C = 1 kg / m ³ . Poiščite skupno maso jeklenke v kilogramih.

Rešitev: Prva stvar je spoznanje, da funkcija D (ρ) predstavlja volumetrično masno gostoto in da se masna gostota porazdeli v valjaste lupine padajoče gostote od središča do oboda. Neskončno najmanjši volumenski element glede na simetrijo problema je:

dV = ρ dρ 2π H

Torej bo neskončna najmanjša masa valjaste lupine:

dM = D (ρ) dV

Zato bo skupna masa jeklenke izražena z naslednjim določenim integralom:

M = ∫ _ali ^R D (ρ) dV = ∫ _ali ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _ali ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Rešitve navedenega integrala ni težko dobiti, rezultat tega je:

∫ _ali ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Vključimo ta rezultat v izraz mase valja, dobimo:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Reference

1. Arfken G in Weber H. (2012). Matematične metode za fizike. Izčrpen vodnik. 7. izdaja Akademski tisk. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Izračun ccm. Rešeni problemi cilindričnih in sferičnih koordinat. Pridobljeno: računa.cc
3. Weisstein, Eric W. "Cilindrične koordinate." Z MathWorld - Wolfram Web. Pridobljeno: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Cilindrični koordinatni sistem. Pridobljeno: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vektorska polja v cilindričnih in sferičnih koordinatah. Pridobljeno: en.wikipedia.com