STALNO POVEZOVANJE: POMEN, IZRAČUN IN PRIMERI - MATEMATIKA - 2026

Konstanta integracije je dodana vrednost za izračun antiodvodov ali integralov, služi predstavljajo rešitve, ki bi se primitivni iz funkcije. Izraža prirojeno dvoumnost, kadar ima katera koli funkcija neskončno število primitivov.

Na primer, če vzamemo funkcijo: f (x) = 2x + 1 in dobimo njeno antideriva:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Kadar C je konstanta integracije in predstavlja grafično navpično prevod med neskončnih možnosti primitivni. Pravilno je reči, da je (x ² + x) eden od primitivov f (x).

Vir: avtor

Podobno lahko določimo (x ² + x + C ) kot primitiv f (x).

Obratna lastnost

Opazimo lahko, da pri izpeljavi izraza (x ² + x) dobimo funkcijo f (x) = 2x + 1. To je posledica obratne lastnosti, ki obstaja med izpeljavo in integracijo funkcij. Ta lastnost omogoča, da dobimo formule integracije, začenši z diferenciacijo. Kar omogoča preverjanje integralov prek istih izpeljank.

Vir: avtor

Vendar (x ² + x) ni edina funkcija, katere izpeljava je enaka (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Kjer 1, 2, 3 in 4 predstavljajo posebne primitive f (x) = 2x + 1. Medtem ko 5 predstavlja nedoločen ali primitivni integral f (x) = 2x + 1.

Vir: avtor

Primitivi funkcije se dosežejo z antiderivacijo ali celostnim postopkom. Kjer bo F primitiv f, če drži naslednje

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = konstanta integracije
• F '(x) = f (x)

Vidimo, da ima funkcija en sam izpeljan, za razliko od svojih neskončnih primitivov, ki so posledica integracije.

Neomejen integral

∫ f (x) dx = F (x) + C

Ustreza družini krivulj z enakim vzorcem, ki doživljajo neskladnost vrednosti slik vsake točke (x, y). Vsaka funkcija, ki izpolni ta vzorec, bo posamezen primitiv, nabor vseh funkcij pa je znan kot nedoločen integral.

Vrednost konstante integracije bo tista, ki v praksi razlikuje vsako funkcijo.

Konstanta integracije kaže na navpični premik v vseh grafov, ki predstavljajo gradnike za funkcijo. Kjer opazimo paralelizem med njimi in dejstvo, da je C vrednost premika.

Po običajnih praksah je konstanta integracije označena s črko "C" za dodatkom, čeprav je v praksi vseeno, ali je konstanta dodana ali odšteta. Njegovo resnično vrednost lahko v različnih začetnih pogojih najdemo na različne načine .

Drugi pomeni konstante integracije

Že je razpravljalo, kako se konstanta integracije uporablja v veji integralnega računa ; Predstavlja družino krivulj, ki definirajo nedoločen integral. Toda številne druge znanosti in veje so pripisale zelo zanimive in praktične vrednosti stalnice integracije, ki so olajšale razvoj številnih študij.

V fiziki lahko konstanta integracije sprejme več vrednosti, odvisno od narave podatkov. Zelo pogost primer je poznavanje funkcije V (t), ki predstavlja hitrost delca v primerjavi s časom t. Znano je, da pri izračunu primitiva V (t) dobimo funkcijo R (t), ki predstavlja položaj delca glede na čas.

Aditivna konstanta bo predstavlja vrednost v začetni položaj, to pomeni, da v času t = 0.

Na enak način je znana funkcija A (t), ki predstavlja pospešek delca v primerjavi s časom. Primitiv A (t) bo imel funkcijo V (t), kjer bo konstanta integracije vrednost začetne hitrosti V ₀ .

V ekonomiji tako, da z integracijo pridobimo primitiv stroškovne funkcije. Konstanta integracije bo predstavljajo fiksne stroške. In toliko drugih aplikacij, ki zaslužijo diferencialno in integralno računico.

Kako se izračuna konstanta integracije?

Za izračun konstante integracije bo treba vedno poznati začetne pogoje . Ki so zadolženi za določitev, kateri od možnih primitivov je ustrezen.

V mnogih aplikacijah se obravnava kot neodvisna spremenljivka v času (t), kjer konstanta C prevzame vrednosti, ki definirajo začetne pogoje posameznega primera.

Če vzamemo začetni primer: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Veljaven začetni pogoj je lahko pogoj, da graf prehaja skozi določeno koordinato. Na primer, vemo, da primitiv (x ² + x + C) prehaja skozi točko (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; to je splošna rešitev

F (1) = 2

Splošno rešitev nadomestimo v tej enakosti

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Od kod enostavno izhaja, da je C = 0

Na ta način je ustrezen primitiv v tem primeru F (x) = x ² + x

Obstaja več vrst numeričnih vaj, ki delujejo s konstantami integracije . V sedanjih preiskavah se diferencialno in integralno računanje ne preneha uporabljati. Na različnih akademskih ravneh jih je mogoče najti; od začetnega izračuna, preko fizike, kemije, biologije, ekonomije, med drugim.

Cenjeno je tudi pri preučevanju diferencialnih enačb , kjer konstanta integracije lahko sprejme različne vrednosti in rešitve, kar je posledica številnih izpeljav in integracij, ki se izvajajo v tej zadevi.

Primeri

Primer 1

1. Topovi, ki se nahajajo 30 metrov visoko, izstrelijo raketo navpično navzgor. Začetna hitrost izstrelka je znana 25 m / s. Odloči:

• Funkcija, ki določa položaj izstrelka glede na čas.
• Čas letenja ali trenutek časa, ko delček udari ob tla.

Znano je, da je v pravokotnem gibanju enakomerno spremenjeno pospešek stalna vrednost. To je primer izstrelitve projektila, kjer bo pospešek težnost

g = - 10 m / s ²

Znano je tudi, da je pospešek drugi izvod položaja, kar kaže na dvojno integracijo v ločljivosti vaje, s čimer dobimo dve integracijski konstanti.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Začetni pogoji vaje kažejo, da je začetna hitrost V ₀ = 25 m / s. To je hitrost v trenutku t = 0. Na ta način se prepriča, da:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ in C ₁ = 25

Z definirano funkcijo hitrosti

V (t) = -10t + 25; Podobnost je mogoče opaziti s formulo MRUV (V _f = V ₀ + axt)

Na homologen način nadaljujemo z integracijo hitrostne funkcije, da dobimo izraz, ki določa položaj:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (primitiven položaj)

Znan je začetni položaj R (0) = 30 m. Nato se izračuna posebnost primitivca izstrelka.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Kjer je C ₂ = 30

Primer 2

1. Poiščite primitivni f (x), ki izpolnjuje začetne pogoje:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Z informacijo o drugem izpeljanem f '' (x) = 4 se začne postopek antiderivacije

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Nato poznamo pogoj f '(2) = 2, nadaljujemo:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 in f '(x) = 4x - 8

Na enak način nadaljujemo z drugo konstanto integracije

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Začetni pogoj f (0) = 7 je znan in nadaljujemo:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 in f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Na podoben način kot prejšnji problem definiramo prve izpeljane in prvotno funkcijo iz začetnih pogojev.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) dx = (x ³ /3) + C ₁

S pogojem f '(0) = 6 nadaljujemo:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Kadar C ₁ = 6 in f '(x) = (x ³ /3) + 6

Nato druga konstanta integracije

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Začetni pogoj f (0) = 3 je znan in nadaljujemo:

+6 (0) + C ₂ = 3; Kjer je C ₂ = 3

Tako dobimo primitivno posebno

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

Primer 3

1. Določite primitivne funkcije glede na izpeljane in točko na grafu:

• dy / dx = 2x - 2, ki gre skozi točko (3, 2)

Pomembno si je zapomniti, da se derivati ​​nanašajo na nagib premice tangenta na krivuljo v dani točki. Kjer ni pravilno domnevati, da se graf izpeljane dotika navedene točke, ker ta spada v graf primitivne funkcije.

Na ta način izrazimo diferencialno enačbo na naslednji način:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Uporaba začetnega pogoja:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Dobimo: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, ki gre skozi točko (0, 2)

Diferencialno enačbo izrazimo na naslednji način:

Uporaba začetnega pogoja:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Dobimo: f (x) = x ³ - x + 2

Predlagane vaje

Vaja 1

1. Poiščite primitivni f (x), ki izpolnjuje začetne pogoje:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Vaja 2

1. Balon, ki se dviga s hitrostjo 16 ft / s, spusti vrečko s peskom z višine 64 ft nad gladino tal.

• Določite čas leta
• Kakšen bo vektor V _f, ko zadene tla?

Vaja 3

1. Na sliki je prikazan grafikon pospeševalnega časa avtomobila, ki se premika v pozitivni smeri osi x. Avto je vozil s konstantno hitrostjo 54 km / h, ko je voznik zaviral v 10 sekundah. Določi:

• Začetni pospešek avtomobila
• Hitrost avtomobila pri t = 5s
• Premik avtomobila med zaviranjem

Vir: avtor

Vaja 4

1. Določite primitivne funkcije glede na izpeljane in točko na grafu:

• dy / dx = x, ki gre skozi točko (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, ki gre skozi točko (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, ki gre skozi točko (-2, 2)

Reference

1. Integralno računanje. Neomejene integralne in integracijske metode. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
2. Stewart, J. (2001). Izračun spremenljivke. Zgodnji transcendentalci. Mehika: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Matematika VI. Integralno računanje. Mehika: Pearson Education.
4. Fizika I. Mc Graw hrib