Končni niz je vsak niz z omejenim ali štetnim številom elementov. Primeri končnih garnitur so frnikole, ki jih vsebuje vreča, niz hiš v soseski ali množica P, sestavljena iz prvih dvajset (20) naravnih števil:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Nabor zvezd v vesolju je zagotovo neizmeren, vendar zagotovo ni znano, ali je končno ali neskončno. Vendar je nabor planetov v osončju končen.
Slika 1. Nabor mnogokotnikov je končen, podvrsta rednih pa tudi. (Wikimedia Commons)
Število elementov v končnem nizu se imenuje njegova kardinalnost, za nabor P pa označeno, kot sledi: Kartica ( P ) ali # P. Prazen niz ima nič kardinalnosti in velja za končni niz.
Lastnosti
Med lastnostmi končnih nizov so naslednje:
1- Zveza končnih nizov povzroči nov končni niz.
2- Če se dve končni nizi sekata, se pojavi nov končni niz.
3- Podmnožica končnega niza je končna in njena kardinalnost je manjša ali enaka kot pri originalnem nizu.
4- Prazen niz je končen niz.
Primeri
Primerov končnih nizov je veliko. Nekaj primerov vključuje naslednje:
Nabor M mesecev v letu, ki je v razširjeni obliki mogoče zapisati takole:
M = {januar, februar, marec, april, maj, junij, julij, avgust, september, oktober, november, december}, kardinalnost M je 12.
Nabor S dni v tednu: S = {ponedeljek, torek, sreda, četrtek, petek, sobota, nedelja}. Kardinalnost S je 7.
Sklop Ñ črk španske abecede je končna množica, ta sklop z razširitvijo je napisal takole:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} in njegova kardinalnost je 27.
Množica V samoglasnikov v španščini je podvrsta množice Ñ:
V ⊂ Ñ je torej končna množica.
Končni niz V v obsežni obliki piše takole: V = {a, e, i, o, u} in njegova kardinalnost je 5.
Nabori se lahko izrazijo z razumevanjem. Primer F je sestavljen iz črk besede "končno":
F = {x / x je črka besede "končno"}
Navedeni niz, izražen v obsežni obliki, bo:
F = {f, i, n, t, o} katerih kardinalnost je 5 in je torej končna množica.
Več primerov
Barve mavrice so še en primer končnega niza, komplet C teh barv je:
C = {rdeča, oranžna, rumena, zelena, cijan, modra, vijolična} in njena kardinalnost je 7.
Niz faz F Lune je še en primer končno niza:
F = {Mlada luna, prva četrtina, polna luna, zadnja četrtina} ta komplet ima kardinalnost 4.
Slika 2. Planeti sončnega sistema tvorijo končno množico. (pixabay)
Drugi končni niz je tisti, ki ga tvorijo planeti sončnega sistema:
P = {Merkur, Venera, Zemlja, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun, Pluton} kardinalnosti 9.
Rešene vaje
Vaja 1
Podan je naslednji niz A = {x∊ R / x ^ 3 = 27}. Izrazite ga z besedami in ga napišite z razširitvijo, navedite njegovo kardinalnost in povejte, ali je končna ali ne.
Rešitev: Množica A je množica resničnih števil x, ki so rezultat x kock 27.
Enačba x ^ 3 = 27 ima tri rešitve: so x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) in x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Od treh rešitev je resničen le x1, ostala dva pa sta kompleksna števila.
Ker definicija množice A pravi, da x pripada dejanskim številom, potem rešitve kompleksnih števil niso del množice A.
Nabor A je obširno izražen:
A = {3}, kar je končni niz kardinalnosti 1.
Vaja 2
Napišite v simbolični obliki (z razumevanjem) in v obsežni obliki množico B realnih števil, ki so večja od 0 (nič) in manjša ali enaka 0 (nič). Navedite njegovo kardinalnost in neomejeno ali ne.
Rešitev: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
Množica B je prazna, ker resnično število x ne more biti hkrati večje in manjše od nič, tako kot ne more biti 0 in tudi manj kot 0.
B = {} in njegova kardinalnost je 0. Prazen niz je končna.
Vaja 3
Podana je množica S raztopin določene enačbe. Nabor S z razumevanjem je napisan tako:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Opisani niz napišite v obsežni obliki, navedite njegovo kardinalnost in navedite, ali gre za končni niz ali ne.
Rešitev: Najprej, ko analiziramo izraz, ki opisuje množico S, ugotovimo, da gre za nabor resničnih x vrednosti, ki so rešitve enačbe:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Rešitev te enačbe je x = 3, kar je resnično število in zato pripada S. Toda obstaja več rešitev, ki jih lahko dobimo z iskanjem rešitev kvadratne enačbe:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
Zgornji izraz lahko upoštevamo na naslednji način:
(x - 4) (x - 5) = 0
Kar nas vodi do še dveh rešitev prvotne enačbe (*), ki sta x = 4 in x = 5. Skratka, enačba (*) ima kot raztopini 3, 4 in 5.
Množica S, izražena v obsežni obliki, izgleda tako:
S = {3, 4, 5}, ki ima kardinalnost 3 in je zato končni niz.
Vaja 4
Obstajata dva niza A = {1, 5, 7, 9, 11} in B = {x ∊ N / x je celo ^ x <10}.
Izrecno napišite množico B in poiščite zvezo z množico A. Poiščite tudi prestrezanje teh dveh sklopov in zaključite.
Rešitev: niz B je sestavljen iz naravnih števil, ki so enake in so tudi manjše od vrednosti 10, zato v obsežnem nizu B piše takole:
B = {2, 4, 6, 8}
Zveza skupine A z nizom B je:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
in prestrezanje niza A z nizom B je zapisano takole:
A ⋂ B = {} = Ø je prazen niz.
Treba je opozoriti, da združitev in prestrezanje teh dveh končnih nizov privede do novih nizov, ki pa so tudi končni.
Reference
- Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MAT. Uvod v izračun. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne enačbe: kako rešiti kvadratno enačbo. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, Paul, RS (2003). Matematika za management in ekonomijo. Pearsonova vzgoja.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
- Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Uredništvo Progreso.
- Matematika 10 (2018). "Primeri končnih nizov". Pridobljeno: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Algebra I Easy! Tako enostavno. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra in trigonometrija. Pearsonova vzgoja.
- Wikipedija. Končni niz. Pridobljeno: es.wikipedia.com